Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{x^{4}}{\sqrt{x^{10}-400}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}}{\sqrt{x^{10}-400}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \dfrac{x^{4}}{\sqrt{x^{10}-400}}.
  • O radicando é x^{10}-400, que pode ser visto como (x^5)^2-20^2 porque 400=20^2.
  • A integral é indefinida, então devemos fornecer uma primitiva mais constante de integração.
  • Observação sobre domínio (útil para interpretação da raiz e do logaritmo): a expressão \sqrt{x^{10}-400} exige x^{10}-400>0, ou seja |x^5|>20. Isso indica que a primitiva válida por continuidade será definida em intervalos onde x^5>20 ou x^5<-20. Vou calcular uma primitiva formal que vale nesses intervalos.

Passo 2

Vamos procurar uma substituição que simplifique a raiz. Note que x^{10}=(x^5)^2. Por isso faz sentido definir a nova variável
t = x^{5}.
Agora calculemos o diferencial: derivando ambos os lados em relação a x,
dt = 5x^{4}\,dx.
Isolando x^{4}\,dx obtemos
x^{4}\,dx = \frac{dt}{5}.
Substituindo na integral original, trocamos x^4\,dx por dt/5 e x^{10} por t^2. Portanto a integral vira
\int \frac{x^{4}}{\sqrt{x^{10}-400}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-400}}\cdot\frac{dt}{5} = \frac{1}{5}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-400}}.
A substituição simplificou a raiz para a forma padrão \sqrt{t^2-a^2} com a^2=400.

Passo 3

Reconhecemos agora a integral padrão
\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}}
onde, no nosso caso, a^{2}=400 e portanto a=20. Uma antiderivada conhecida dessa forma é
\ln\!\bigl|t+\sqrt{t^{2}-a^{2}}\bigr| + C,
ou, equivalentemente, a função inversa hiperbólica \operatorname{arcosh}\!\left(\frac{t}{a}\right). Vou mostrar rapidamente por que a forma logarítmica funciona: defina
F(t)=\ln\!\bigl|t+\sqrt{t^{2}-a^{2}}\bigr|.
Diferenciando,
F'(t)=\frac{1}{t+\sqrt{t^{2}-a^{2}}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}}\right).
Colocando o numerador sobre o mesmo denominador \sqrt{t^{2}-a^{2}} obtém-se
1+\frac{t}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}}=\frac{\sqrt{t^{2}-a^{2}}+t}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}}.
Assim
F'(t)=\frac{\sqrt{t^{2}-a^{2}}+t}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}\,(t+\sqrt{t^{2}-a^{2}})}=\frac{1}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}},
porque os fatores \sqrt{t^{2}-a^{2}}+t cancelam. Logo a derivada de F é exatamente o integrando padrão. Isso confirma a fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula padrão ao nosso caso com a=20 e lembrando do fator \tfrac{1}{5} que saiu da substituição, obtemos
\frac{1}{5}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-400}} = \frac{1}{5}\ln\!\bigl|t+\sqrt{t^{2}-400}\bigr| + C.
Agora voltamos à variável original usando t=x^{5}:
\frac{1}{5}\ln\!\bigl|x^{5}+\sqrt{x^{10}-400}\bigr| + C.

Passo 5

Comentário final e exemplo adicional para fixar: a técnica principal aqui foi reconhecer que a potência no radicando era um quadrado perfeito em termos de x^5, o que sugeriu a substituição t=x^5. Em muitas integrais com \sqrt{x^{2} - a^{2}} ou \sqrt{x^{2}+a^{2}} ou \sqrt{a^{2}-x^{2}} vale a pena procurar substituições que transformem a expressão em funções padrões. Exemplo rápido semelhante: \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-9}} = \ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\ln\!\bigl|x^{5}+\sqrt{x^{10}-400}\bigr|+C

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