Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir: \int \frac{10 . d x}{\sqrt{100 x^{2}+144}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{10\,dx}{\sqrt{100x^{2}+144}}.
Informações dadas: a integranda é uma função racional em x sobre uma raiz quadrada de um polinômio do tipo Ax^2+B com A=100 e B=144. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{10}{\sqrt{100x^{2}+144}}.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica antes de aplicar fórmulas: fatoramos 100 dentro da raiz para extrair constantes.
onde a>0 e C é a constante de integração. Vou justificar essa fórmula de forma didática usando a substituição hiperbólica (ou você pode verificar derivando a resposta).
A ideia: seja x=a\operatorname{sinh} t. Explicando:
\operatorname{sinh} t é a função hiperbólica seno, com derivada \operatorname{cosh} t.
Se x=a\operatorname{sinh} t, então dx=a\operatorname{cosh} t\,dt.
Voltando ao integrand original (já simplificado no Passo 2), essa é a primitiva procurada. Podemos também reescrever a raiz interna com denominador comum se preferir uma forma sem fração dentro da raiz: