Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{10 . d x}{\sqrt{100 x^{2}+144}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{10\,dx}{\sqrt{100x^{2}+144}}.
Informações dadas: a integranda é uma função racional em x sobre uma raiz quadrada de um polinômio do tipo Ax^2+B com A=100 e B=144. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{10}{\sqrt{100x^{2}+144}}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica antes de aplicar fórmulas: fatoramos 100 dentro da raiz para extrair constantes.
\sqrt{100x^{2}+144}=\sqrt{100\bigl(x^{2}+\tfrac{144}{100}\bigr)}=\sqrt{100}\,\sqrt{x^{2}+1{,}44}=10\sqrt{x^{2}+1{,}44}.
Portanto a integranda fica
\frac{10}{\sqrt{100x^{2}+144}}=\frac{10}{10\sqrt{x^{2}+1{,}44}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1{,}44}}.
Também podemos escrever 1{,}44 como uma fração: 1{,}44=\dfrac{36}{25}. Assim a integral é equivalente a
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\tfrac{36}{25}}}.

Passo 3

Agora precisamos lembrar uma primitiva padrão. A fórmula útil é
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr|+C,
onde a>0 e C é a constante de integração. Vou justificar essa fórmula de forma didática usando a substituição hiperbólica (ou você pode verificar derivando a resposta).
A ideia: seja x=a\operatorname{sinh} t. Explicando:
  • \operatorname{sinh} t é a função hiperbólica seno, com derivada \operatorname{cosh} t.
  • Se x=a\operatorname{sinh} t, então dx=a\operatorname{cosh} t\,dt.
  • Além disso,
\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}t+a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}t+1}=a\operatorname{cosh} t,
pois \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1 implica \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t e \operatorname{cosh} t\ge 1.
Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int \frac{a\operatorname{cosh} t\,dt}{a\operatorname{cosh} t}=\int dt = t + C.
Voltando para x: como x=a\operatorname{sinh} t, temos t=\operatorname{arsinh}\!\left(\tfrac{x}{a}\right). Além disso existe a identidade
\operatorname{arsinh}(u)=\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr),
portanto
t=\ln\!\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right) =\ln\!\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right).
Como \ln\left(\dfrac{\cdot}{a}\right)=\ln(\cdot)-\ln a e -\ln a é apenas uma constante, obtemos finalmente
t+C=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C',
que é a fórmula anunciada.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso, com
a^{2}=\frac{36}{25}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{5}\\ (\text{escolhemos }a>0).
Portanto
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\tfrac{36}{25}}}=\ln\!\biggl|x+\sqrt{x^{2}+\tfrac{36}{25}}\biggr|+C.

Passo 5

Voltando ao integrand original (já simplificado no Passo 2), essa é a primitiva procurada. Podemos também reescrever a raiz interna com denominador comum se preferir uma forma sem fração dentro da raiz:
\sqrt{x^{2}+\tfrac{36}{25}}=\frac{1}{5}\sqrt{25x^{2}+36},
então outra forma equivalente da primitiva é
\ln\!\left|x+\frac{1}{5}\sqrt{25x^{2}+36}\right|+C,
ou ainda, ao absorver constantes no C,
\ln\!\bigl|5x+\sqrt{25x^{2}+36}\bigr|+C.
Todas essas expressões diferem apenas por uma constante aditiva, portanto são equivalentes como primitivas.

Resposta

\ln\!\biggl|x+\sqrt{x^{2}+\tfrac{36}{25}}\biggr|+C

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