Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{5 . d x}{\sqrt{81-25 x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{5\,dx}{\sqrt{81-25x^{2}}}.
Informações dadas: a integranda é a função \dfrac{5}{\sqrt{81-25x^{2}}} e queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos simplificar a raiz para ver um padrão conhecido. Factorizamos 81 na raiz:
\sqrt{81-25x^{2}} = 9\sqrt{1-\left(\frac{5x}{9}\right)^{2}}.
Substituindo na integranda obtemos
\frac{5}{\sqrt{81-25x^{2}}} = \frac{5}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{5x}{9}\right)^{2}}}.
Logo a integral vira
\int \frac{5\,dx}{\sqrt{81-25x^{2}}} = \frac{5}{9}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{5x}{9}\right)^{2}}}.

Passo 3

Fazemos a substituição simples para eliminar a expressão quadrática dentro da raiz. Defina
u=\frac{5x}{9}.
Derivando, obtemos
du=\frac{5}{9}\,dx\quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{9}\,dx=du.
Substituindo na integral do passo anterior:
\frac{5}{9}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{5x}{9}\right)^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos a primitiva conhecida (aqui explico a fórmula): a derivada da função \arcsin(u) é
\frac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},
para |u|<1. Isso significa que uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} é \arcsin(u). Portanto
\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u)+C.
Voltando à variável original x (substituindo u=\dfrac{5x}{9}):
\int \frac{5\,dx}{\sqrt{81-25x^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{5x}{9}\right)+C.

Passo 5

Verificação rápida (derivação da resposta para confirmar): diferencie \arcsin\!\left(\dfrac{5x}{9}\right). Pelo efeito da cadeia,
\frac{d}{dx}\arcsin\!\left(\frac{5x}{9}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{5x}{9}\right)^{2}}}\cdot\frac{5}{9} = \frac{5}{9\sqrt{1-\left(\frac{5x}{9}\right)^{2}}}.
Reescrevendo a raiz como antes, isso é igual a \dfrac{5}{\sqrt{81-25x^{2}}}, que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{5x}{9}\right)+C

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