Derivar a functlo e simplificar e resultado
Passo 1
O enunciado pede para derivar e simplificar o resultado da função
Informações dadas/assumidas:
-
é uma constante (fixa). - A expressão dentro da raiz quadrada,
, deve ser não negativa para estar bem definida (ou seja, estamos considerando no domínio onde ). - A tarefa é calcular
e simplificar até uma forma mais simples possível.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: derivada do logaritmo natural. Se
e
, então vale a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo:
Explicando: a derivada de
transforma uma derivada em uma razão — primeiro derivamos a função interior
e depois dividimos pelo próprio
.
Passo 3
Definimos a parte interior como
Vamos calcular
. Pela regra da soma, a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
-
porque é constante. -
. -
será feita com a regra da cadeia (próximo passo).
Passo 4
Derivada da raiz quadrada: se
, então
Aqui
. Então precisamos de
. Calculamos:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para a raiz:
Portanto a derivada de
é
Passo 6
Voltando à derivada do logaritmo, usamos
. Substituindo:
Passo 7
Agora simplificamos a expressão algébrica do numerador. Colocamos o numerador sob um denominador comum
:
Passo 8
Substituímos essa forma em
:
Isto é
Observe que
aparece tanto no numerador quanto como um fator no denominador; portanto cancela-se:
Passo 9
Comentário final rápido: a simplificação é exata porque a soma
é positiva no domínio considerado, então a divisão faz sentido e não inverte sinais. Assim obtemos uma forma muito simples para a derivada.