Derivar a functlo e simplificar e resultado
f(x)=\ln \left(a+x+\sqrt{2 a x+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar o resultado da função
f(x)=\ln\!\left(a+x+\sqrt{2 a x+x^{2}}\right).
Informações dadas/assumidas:
  • a é uma constante (fixa).
  • A expressão dentro da raiz quadrada, 2 a x+x^{2}, deve ser não negativa para f estar bem definida (ou seja, estamos considerando x no domínio onde 2 a x+x^{2}\ge 0).
  • A tarefa é calcular f'(x) e simplificar até uma forma mais simples possível.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: derivada do logaritmo natural. Se \displaystyle F(x)=\ln\big(u(x)\big) e u(x)>0, então vale a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo:
F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: a derivada de \ln transforma uma derivada em uma razão — primeiro derivamos a função interior u(x) e depois dividimos pelo próprio u(x).

Passo 3

Definimos a parte interior como
u(x)=a+x+\sqrt{2 a x+x^{2}}.
Vamos calcular u'(x). Pela regra da soma, a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
  • \dfrac{d}{dx}a=0 porque a é constante.
  • \dfrac{d}{dx}x=1.
  • \dfrac{d}{dx}\sqrt{2 a x+x^{2}} será feita com a regra da cadeia (próximo passo).

Passo 4

Derivada da raiz quadrada: se g(v)=\sqrt{v}=v^{1/2}, então
g'(v)=\frac{1}{2}v^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{v}}.
Aqui v(x)=2 a x+x^{2}. Então precisamos de v'(x). Calculamos:
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(2 a x+x^{2}\big)=2a+2x=2(a+x).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para a raiz:
\frac{d}{dx}\sqrt{2 a x+x^{2}}=\frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}=\frac{2(a+x)}{2\sqrt{2 a x+x^{2}}}=\frac{a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}.
Portanto a derivada de u(x) é
u'(x)=0+1+\frac{a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}=1+\frac{a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}.

Passo 6

Voltando à derivada do logaritmo, usamos f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Substituindo:
f'(x)=\frac{1+\dfrac{a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}}{a+x+\sqrt{2 a x+x^{2}}}.

Passo 7

Agora simplificamos a expressão algébrica do numerador. Colocamos o numerador sob um denominador comum \sqrt{2 a x+x^{2}}:
1+\frac{a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}=\frac{\sqrt{2 a x+x^{2}}}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}+\frac{a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}=\frac{\sqrt{2 a x+x^{2}}+a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}.

Passo 8

Substituímos essa forma em f'(x):
f'(x)=\frac{\dfrac{\sqrt{2 a x+x^{2}}+a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}}{a+x+\sqrt{2 a x+x^{2}}}.
Isto é
f'(x)=\frac{\sqrt{2 a x+x^{2}}+a+x}{\sqrt{2 a x+x^{2}}\;\big(a+x+\sqrt{2 a x+x^{2}}\big)}.
Observe que \sqrt{2 a x+x^{2}}+a+x aparece tanto no numerador quanto como um fator no denominador; portanto cancela-se:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}.

Passo 9

Comentário final rápido: a simplificação é exata porque a soma \sqrt{2 a x+x^{2}}+a+x é positiva no domínio considerado, então a divisão faz sentido e não inverte sinais. Assim obtemos uma forma muito simples para a derivada.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{2 a x+x^{2}}}

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