Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int 45 x^{8} \cdot e^{x^{9}} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função dada:
\int 45 x^{8} \cdot e^{x^{9}} \, dx.
Informações relevantes que vemos no integrando: há uma constante 45, um fator polinomial x^{8} e uma função exponencial composta e^{x^{9}}. O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=45 x^{8} e^{x^{9}}.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a presença de x^{8} multiplicando e^{x^{9}} sugere uma substituição do tipo u = expressão dentro do exponencial, porque a derivada de x^{9} é proporcional a x^{8}. Vamos aplicar a substituição
u = x^{9}.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando \,u=x^{9} obtemos
du = 9 x^{8}\,dx.
Isolando x^{8}\,dx temos
x^{8}\,dx = \frac{du}{9}.

Passo 3

Substituímos na integral original usando u e du. O fator 45 x^{8}\,dx vira
45 x^{8}\,dx = 45\cdot\frac{du}{9} = 5\,du.
Portanto a integral transforma-se em
\int 45 x^{8} e^{x^{9}}\,dx = \int 5 e^{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. Lembrando que a integral de e^{u} é e^{u}, e que constantes podem ser fatoradas:
\int 5 e^{u}\,du = 5\int e^{u}\,du = 5 e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltamos à variável original substituindo u = x^{9}:
5 e^{u} + C = 5 e^{x^{9}} + C.
Para checar rapidamente: derivando 5 e^{x^{9}} pelo regra da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\big(5 e^{x^{9}}\big) = 5 e^{x^{9}}\cdot 9 x^{8} = 45 x^{8} e^{x^{9}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta. Força aí — você já já domina esse tipo de integral!

Resposta

5 e^{x^{9}} + C

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