Resolva as seguintes integrais indefinidas usando substituição. Verifique sua resposta derivando a primitiva e encontrando o integrando original.
integral x^2 e^(x^3) d x, u=x^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida

usando substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, onde vamos transformar a variável de integração de integral x^2e^(x^3),dx para x de modo a simplificar a expressão.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável definindo u = x^3. Em seguida calculamos o diferencial de u:
du = 3x^2,dx
Logo podemos isolar x^2dx:
x^2dx = 13,du.

Passo 3

Substituímos na integral original:
integral x^2e^x^3,dx = integral e^ucdot 13,du = 13integral e^u,du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral e^u,du = e^u + C
Portanto a integral se torna
13e^u + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^3 e obtemos
13e^x^3 + C
Para verificar, derivamos:
ddxgl(tfrac13e^x^3gr) = tfrac13e^x^3cdot 3x^2 = x^2e^x^3,
recuperando o integrando original.

Passo 6

Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

tfrac13e^x^3 + C

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