Resolva as seguintes integrais indefinidas usando substituição. Verifique sua resposta derivando a primitiva e encontrando o integrando original.
integral sen^2(x) cos (x) d x, u=sen(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^2(x)cos(x),dx usando substituição com u=sin(x). O conteúdo aqui é integração por substituição, onde trocamos a variável de integração para simplificar.

Passo 2

Definindo a substituição, temos:
u = sin(x), du = cos(x),dx,
Logo a integral vira:
integral sin^2(x)cos(x),dx = integral u^2,du

Passo 3

Agora integramos em u:
integral u^2,du = u^33 + C
Voltando para x, substituímos u=sin(x) e obtemos a primitiva:
13sin^3(x) + C

Passo 4

Para verificar, derivamos tfrac13sin^3(x). Pela regra da cadeia,
ddxl(tfrac13sin^3(x)r) = sin^2(x)cos(x), que é exatamente o integrando original, confirmando a resposta.

Resposta

13sin^3(x) + C

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