Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
d^2 yd x^2+lambda y=0
Determinar a solução geral para y(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: d^2 yd x^2 + lambda y = 0. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, pois todos os termos envolvem a função $ y $ ou suas derivadas, sem termos independentes. Nesses casos, a gente geralmente usa a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 3

A equação característica é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica. Para a nossa EDO, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{r x} $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar. Ao substituir isso na EDO, temos:
y = e^r x
Como $ e^{r x} $ nunca é zero, podemos simplificar para:
r
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^{2} + \lambda = 0 $ para encontrar $ r $. Rearranjando, temos:
r^2 + lambda = 0
Então, $ r = \pm \sqrt{-\lambda} $. Isso significa que as raízes são complexas, a menos que $ \lambda $ seja negativa, o que geralmente consideramos $ \lambda > 0 $ em muitos contextos físicos.

Passo 5

Com raízes complexas $ r = \pm i \sqrt{\lambda} $, sabemos que a solução geral para a EDO é uma combinação linear de funções seno e cosseno. Portanto, a solução geral é:
r = pm i raizlambda
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral para $ y(x) $ é:
y(x)

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