Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{1 / 2} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O ponto-chave é reconhecer que a derivada de \arcsin(x) é
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(x)\bigr]=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 2

Como sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(x)\bigr]=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
um conjuntinho de antiderivadas é dado por
F(x)=\arcsin(x)+C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, basta avaliar F(x) nos limites de integração:
\int_{0}^{1/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =F\bigl(\tfrac12\bigr)-F(0) =\arcsin\bigl(\tfrac12\bigr)-\arcsin(0).
Sabemos que \arcsin(\tfrac12)=\pi/6 e \arcsin(0)=0, logo
\int_{0}^{1/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =\frac{\pi}{6}-0 =\frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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