Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{3 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2} \mathrm{dx};

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo, usando substituição:
\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{3\mathrm{e}^{x}+2}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3\mathrm{e}^{x}+2}.
  • Trata-se de uma integral indefinida; o resultado deve conter uma constante de integração C.
    Não se resolve nada aqui ainda; apenas identifiquei claramente o que é pedido e o que foi fornecido.

Passo 2

Ideia da técnica de substituição (explicação didática e simples).
  • A substituição consiste em escolher uma expressão u que torne a integral mais simples depois de reescrevê-la em termos de u.
  • Um caso clássico é quando a integranda tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)}. Nesse caso vale a fórmula
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x=\ln\bigl|f(x)\bigr|+C,
porque a derivada de \ln|f(x)| é \dfrac{f'(x)}{f(x)} (regra da cadeia).
  • Aqui, no nosso integrando, observe que o denominador é 3\mathrm{e}^{x}+2 e o numerador é \mathrm{e}^{x}, que é proporcional à derivada do denominador. Isso sugere a substituição
u=3\mathrm{e}^{x}+2.

Passo 3

Calcular a diferencial \mathrm{d}u a partir de u=3\mathrm{e}^{x}+2.
  • Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=3\mathrm{e}^{x}.
  • Multiplicando por \mathrm{d}x
\mathrm{d}u=3\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x.
  • Isolando \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x temos
\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Fazer a substituição na integral original.
  • Substituindo u=3\mathrm{e}^{x}+2 e \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u obtemos
\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{3\mathrm{e}^{x}+2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.
  • Colocando o fator constante fora da integral:
\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{3\mathrm{e}^{x}+2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Integrar em u usando a fórmula básica.
  • A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural:
\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u=\ln\bigl|u\bigr|+C.
  • Portanto
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr|+C.

Passo 6

Voltar à variável original x (retro-substituição).
  • Lembrando que u=3\mathrm{e}^{x}+2, substitui-se de volta:
\frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr|+C=\frac{1}{3}\ln\bigl|3\mathrm{e}^{x}+2\bigr|+C.
  • Observação: para todo x\in\mathbb{R} tem-se \mathrm{e}^{x}>0 e, portanto, 3\mathrm{e}^{x}+2>0. Assim o valor dentro do logaritmo é sempre positivo e poderíamos escrever sem barras de valor absoluto:
\frac{1}{3}\ln\bigl(3\mathrm{e}^{x}+2\bigr)+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando o resultado para checar).
  • Diferenciando \dfrac{1}{3}\ln\bigl(3\mathrm{e}^{x}+2\bigr) pelo teorema da cadeia:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{3}\ln\bigl(3\mathrm{e}^{x}+2\bigr)\right] = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3\mathrm{e}^{x}+2}\cdot 3\mathrm{e}^{x} = \frac{\mathrm{e}^{x}}{3\mathrm{e}^{x}+2},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\dfrac{1}{3}\ln\bigl(3\mathrm{e}^{x}+2\bigr)+C

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