Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição: \int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{3 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2} \mathrm{dx};
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo, usando substituição:
A função integranda é \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3\mathrm{e}^{x}+2}.
Trata-se de uma integral indefinida; o resultado deve conter uma constante de integração C.
Não se resolve nada aqui ainda; apenas identifiquei claramente o que é pedido e o que foi fornecido.
Passo 2
Ideia da técnica de substituição (explicação didática e simples).
A substituição consiste em escolher uma expressão u que torne a integral mais simples depois de reescrevê-la em termos de u.
Um caso clássico é quando a integranda tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)}. Nesse caso vale a fórmula
porque a derivada de \ln|f(x)| é \dfrac{f'(x)}{f(x)} (regra da cadeia).
Aqui, no nosso integrando, observe que o denominador é 3\mathrm{e}^{x}+2 e o numerador é \mathrm{e}^{x}, que é proporcional à derivada do denominador. Isso sugere a substituição
u=3\mathrm{e}^{x}+2.
Passo 3
Calcular a diferencial \mathrm{d}u a partir de u=3\mathrm{e}^{x}+2.
Observação: para todo x\in\mathbb{R} tem-se \mathrm{e}^{x}>0 e, portanto, 3\mathrm{e}^{x}+2>0. Assim o valor dentro do logaritmo é sempre positivo e poderíamos escrever sem barras de valor absoluto:
\frac{1}{3}\ln\bigl(3\mathrm{e}^{x}+2\bigr)+C.
Passo 7
Verificação rápida (derivando o resultado para checar).
Diferenciando \dfrac{1}{3}\ln\bigl(3\mathrm{e}^{x}+2\bigr) pelo teorema da cadeia: