Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int(2 x+1) \sqrt[5]{3 x^{2}+3 x-2} d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (2x+1)\sqrt[5]{3x^{2}+3x-2}\,dx,
ou seja, encontrar uma primitiva de (2x+1)\,(3x^{2}+3x-2)^{1/5}. As informações dadas são: o integrando é o produto de uma expressão linear em x, (2x+1), pela raiz quinta de um polinômio quadrático 3x^{2}+3x-2. O objetivo é aplicar a técnica de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Lembrete didático sobre a técnica de substituição (passo a passo do conceito):
  • Se tivermos uma integral da forma \int f'(x)\,g(f(x))\,dx, é conveniente definir u=f(x).
  • Então du=f'(x)\,dx. Isso transforma a integral em \int g(u)\,du, que normalmente é mais simples.
  • A regra de potência para integrais é
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1,
onde u é a nova variável e C é a constante de integração.
Aqui vamos procurar escolher u de modo que sua derivada esteja presente, possivelmente até por um fator constante, no integrando.

Passo 3

Escolha da substituição: observe o radicando 3x^{2}+3x-2. Definimos
u=3x^{2}+3x-2.
Agora calculamos du em termos de dx:
du=(6x+3)\,dx=3(2x+1)\,dx.
Isolando (2x+1)\,dx obtemos
(2x+1)\,dx=\frac{1}{3}\,du.
Isso mostra que a parte (2x+1)\,dx do integrando se transforma facilmente em \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Fazendo a substituição na integral: como \sqrt[5]{3x^{2}+3x-2}=(u)^{1/5} e (2x+1)\,dx=\dfrac{1}{3}du, temos
\int (2x+1)\sqrt[5]{3x^{2}+3x-2}\,dx = \int u^{1/5}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{1/5}\,du.

Passo 5

Integração usando a regra de potência: apliquei \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C com n=\tfrac{1}{5}. Assim,
\frac{1}{3}\int u^{1/5}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{1/5+1}}{1/5+1}+C = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6/5}}{6/5}+C.
Fazendo a simplificação dos fatores constantes:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6/5}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{18}.
Portanto a integral em u é
\frac{5}{18}u^{6/5}+C.

Passo 6

Voltar à variável x: substituindo u=3x^{2}+3x-2 de volta, obtemos a primitiva
F(x)=\frac{5}{18}\bigl(3x^{2}+3x-2\bigr)^{6/5}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando F(x) deve voltar ao integrando. Calculando
F'(x)=\frac{5}{18}\cdot\frac{6}{5}\bigl(3x^{2}+3x-2\bigr)^{1/5}\cdot(6x+3)
porque \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+3x-2\bigr)=6x+3. Simplificando os fatores:
\frac{5}{18}\cdot\frac{6}{5}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{3}(6x+3)=2x+1,
logo
F'(x)=(2x+1)\bigl(3x^{2}+3x-2\bigr)^{1/5},
que é exatamente o integrando. Verificação feita.

Resposta

\frac{5}{18}\bigl(3x^{2}+3x-2\bigr)^{6/5}+C

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