Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
ou seja, encontrar uma primitiva de
. As informações dadas são: o integrando é o produto de uma expressão linear em
,
, pela raiz quinta de um polinômio quadrático
. O objetivo é aplicar a técnica de substituição para resolver essa integral.
Passo 2
Lembrete didático sobre a técnica de substituição (passo a passo do conceito):
- Se tivermos uma integral da forma
, é conveniente definir . - Então
. Isso transforma a integral em , que normalmente é mais simples. - A regra de potência para integrais é
onde
é a nova variável e
é a constante de integração.
Aqui vamos procurar escolher de modo que sua derivada esteja presente, possivelmente até por um fator constante, no integrando.
Aqui vamos procurar escolher
Passo 3
Escolha da substituição: observe o radicando
. Definimos
Agora calculamos
em termos de
:
Isolando
obtemos
Isso mostra que a parte
do integrando se transforma facilmente em
.
Passo 4
Fazendo a substituição na integral: como
e
, temos
Passo 5
Integração usando a regra de potência: apliquei
com
. Assim,
Fazendo a simplificação dos fatores constantes:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Voltar à variável
: substituindo
de volta, obtemos a primitiva
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando
deve voltar ao integrando. Calculando
porque
. Simplificando os fatores:
logo
que é exatamente o integrando. Verificação feita.