Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int \operatorname{sen}(10 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
\int \operatorname{sen}(10 x)\,d x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(10 x).
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(10x).
  • Devemos usar a técnica de substituição (mudança de variável).

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando temos uma função composta \operatorname{sen}(g(x)) e g(x) é uma função linear simples como 10x, é conveniente fazer a mudança de variável
u = g(x).
Isso transforma a integral em uma forma mais simples \int \operatorname{sen}(u)\,du, que sabemos integrar diretamente. Aqui a escolha natural é
u = 10x.

Passo 3

Calcular o diferencial correspondente (o passo algébrico que liga du a dx):
u = 10x \quad\Rightarrow\quad du = 10\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = \frac{du}{10}.
Explicação: du/dx é a derivada de u em relação a x; como \dfrac{d}{dx}(10x)=10, temos du=10\,dx. Trocar dx por \dfrac{du}{10} é o que permite reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 4

Substituir na integral original todas as ocorrências de 10x por u e dx por \dfrac{du}{10}:
\int \operatorname{sen}(10x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{10}.
Fatorando a constante 1/10 para fora da integral:
\int \operatorname{sen}(10x)\,dx = \frac{1}{10}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Integrar \operatorname{sen}(u) em relação a u. Fórmula básica que precisamos lembrar e entender:
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Explicação da fórmula: a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), portanto uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). O +C é a constante de integração que sempre aparece em integrais indefinidas.

Passo 6

Aplicando a primitiva dentro do fator 1/10:
\frac{1}{10}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{10}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{10}\cos(u) + C.
Agora voltamos à variável original usando u=10x:
-\frac{1}{10}\cos(u) + C = -\frac{1}{10}\cos(10x) + C.

Resposta

-\dfrac{1}{10}\cos(10x)+C

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