Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Devemos usar a técnica de substituição (mudança de variável).
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando temos uma função composta
e
é uma função linear simples como
, é conveniente fazer a mudança de variável
Isso transforma a integral em uma forma mais simples
, que sabemos integrar diretamente. Aqui a escolha natural é
Passo 3
Calcular o diferencial correspondente (o passo algébrico que liga
a
):
Isolando
obtemos
Explicação:
é a derivada de
em relação a
; como
, temos
. Trocar
por
é o que permite reescrever toda a integral em termos de
.
Passo 4
Substituir na integral original todas as ocorrências de
por
e
por
:
Fatorando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Integrar
em relação a
. Fórmula básica que precisamos lembrar e entender:
Explicação da fórmula: a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é
. O
é a constante de integração que sempre aparece em integrais indefinidas.
Passo 6
Aplicando a primitiva dentro do fator
:
Agora voltamos à variável original usando
: