Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Usa-se a técnica de integração por substituição. Informações dadas e o que se pede:
Usa-se a técnica de integração por substituição. Informações dadas e o que se pede:
- Integrando:
. - Variável de integração:
. - Pede-se um antiderivado (uma primitiva) da função indicada, ou seja, encontrar uma função
tal que . - A instrução relacionada à técnica: usar substituição.
Passo 2
Ideia da substituição (por que funciona): quando há uma função composta
e aparece junto no integrando algo proporcional a
, podemos escolher
. Aqui
. Vamos definir a substituição:
Explicando:
é a nova variável que representa a parte interna da função seno. O objetivo é transformar a integral em relação a
numa integral mais simples em relação a
.
Passo 3
Calcular
em termos de
. Derivando
em relação a
(regra da derivada):
Isto significa que
Isolando
, que aparece na integral original:
Explicação: trocamos o diferencial
por
, o que permite reescrever a integral em
.
Passo 4
Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo
e
em
obtemos a integral em
:
Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 5
Calcular a integral em
. A primitiva de
é
, porque
. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
(retro-substituição). Lembrando que
, substitui-se de volta:
Verificação rápida por derivação: derivando
,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.