Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int x \operatorname{sen}\left(x^{2}+1\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int x \operatorname{sen}\left(x^{2}+1\right)\,dx
Usa-se a técnica de integração por substituição. Informações dadas e o que se pede:
  • Integrando: x \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right).
  • Variável de integração: x.
  • Pede-se um antiderivado (uma primitiva) da função indicada, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right).
  • A instrução relacionada à técnica: usar substituição.

Passo 2

Ideia da substituição (por que funciona): quando há uma função composta \operatorname{sen}(g(x)) e aparece junto no integrando algo proporcional a g'(x), podemos escolher u=g(x). Aqui g(x)=x^{2}+1. Vamos definir a substituição:
u = x^{2}+1.
Explicando: u é a nova variável que representa a parte interna da função seno. O objetivo é transformar a integral em relação a x numa integral mais simples em relação a u.

Passo 3

Calcular du em termos de dx. Derivando u em relação a x (regra da derivada):
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\!\left(x^{2}+1\right) = 2x.
Isto significa que
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx, que aparece na integral original:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Explicação: trocamos o diferencial x\,dx por \tfrac{1}{2}du, o que permite reescrever a integral em u.

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo u = x^{2}+1 e x\,dx = \tfrac{1}{2}du em
\int x \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right)\,dx
obtemos a integral em u:
\int x \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{1}{2}\,du.
Colocando o fator constante fora da integral:
\int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u. A primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u), porque \dfrac{d}{du}\bigl(-\cos(u)\bigr)=\operatorname{sen}(u). Assim:
\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x (retro-substituição). Lembrando que u=x^{2}+1, substitui-se de volta:
-\frac{1}{2}\cos(u)+C = -\frac{1}{2}\cos\!\left(x^{2}+1\right)+C.
Verificação rápida por derivação: derivando F(x)=-\tfrac{1}{2}\cos(x^{2}+1),
F'(x) = -\tfrac{1}{2}\bigl(-\operatorname{sen}(x^{2}+1)\bigr)\cdot 2x = x\operatorname{sen}(x^{2}+1),
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\cos\!\left(x^{2}+1\right)+C

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