Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int(2 \operatorname{sen}(2 x)-3 \cos (3 x)) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função dada. Especificamente:
  • Calcular \displaystyle \int\bigl(2\sin(2x)-3\cos(3x)\bigr)\,dx.
    As informações relevantes são:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é a soma/diferença de duas funções trigonométricas multiplicadas por constantes: 2\sin(2x) e -3\cos(3x).
    O objetivo final é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2\sin(2x)-3\cos(3x).

Passo 2

Ideia da técnica de substituição (explicação didática).
  • Quando temos uma função composta do tipo f(g(x)) multiplicada por g'(x), a substituição u=g(x) transforma a integral em \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples.
  • Em símbolos: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Assim integrais da forma \int f(g(x))g'(x)\,dx viram \int f(u)\,du.
  • No caso prático de funções trigonométricas, se aparece \sin(bx) ou \cos(bx) frequentemente a boa escolha é u=bx, porque du=b\,dx cancela a constante que multiplica a função.

Passo 3

Separar a integral em duas integrais mais simples (linearidade da integral).
\int\bigl(2\sin(2x)-3\cos(3x)\bigr)\,dx = \int 2\sin(2x)\,dx \;-\; \int 3\cos(3x)\,dx.
Assim resolvemos cada parcela com substituição apropriada.

Passo 4

Resolver \displaystyle \int 2\sin(2x)\,dx por substituição.
  • Faça a escolha u=2x.
  • Então du=2\,dx, ou equivalentemente dx=\dfrac{du}{2}.
  • Substituindo na integral:
\int 2\sin(2x)\,dx = \int 2\sin(u)\cdot \frac{du}{2} = \int \sin(u)\,du.
  • Sabendo que \displaystyle \int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C, obtemos
\int 2\sin(2x)\,dx = -\cos(u)+C_1 = -\cos(2x)+C_1.
(Explicação extra: a integral de \sin é -\cos porque a derivada de -\cos(u) é \sin(u).)

Passo 5

Resolver \displaystyle \int 3\cos(3x)\,dx (lembrando do sinal negativo na soma original).
  • Primeiro considere \displaystyle \int 3\cos(3x)\,dx. Use v=3x.
  • Então dv=3\,dx, isto é dx=\dfrac{dv}{3}.
  • Substituindo:
\int 3\cos(3x)\,dx = \int 3\cos(v)\cdot \frac{dv}{3} = \int \cos(v)\,dv.
  • Sabendo que \displaystyle \int \cos(v)\,dv = \sin(v)+C, tem-se
\int 3\cos(3x)\,dx = \sin(v)+C_2 = \sin(3x)+C_2.
  • Como na integral original havia -\int 3\cos(3x)\,dx, então essa parcela contribui com -\sin(3x).

Passo 6

Juntar os resultados das duas parcelas e combinar constantes.
  • Da Passo 4 obtivemos -\cos(2x)+C_1.
  • Da Passo 5, com o sinal negativo, obtemos -\sin(3x)+C_2.
  • Somando e juntando as constantes C_1 e C_2 em uma única constante arbitrária C, a primitiva da função inteira é
-\cos(2x)-\sin(3x)+C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação).
  • Derivando -\cos(2x)-\sin(3x):
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(2x)\bigr)= -\bigl(-2\sin(2x)\bigr)=2\sin(2x),
\frac{d}{dx}\bigl(-\sin(3x)\bigr)= -\bigl(3\cos(3x)\bigr)=-3\cos(3x).
  • Somando: 2\sin(2x)-3\cos(3x), que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\cos(2x)-\sin(3x)+C

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