Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
;
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função dada. Especificamente:
- Calcular
.
As informações relevantes são: - A variável de integração é
. - O integrando é a soma/diferença de duas funções trigonométricas multiplicadas por constantes:
e .
O objetivo final é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, ou seja, uma funçãotal que .
Passo 2
Ideia da técnica de substituição (explicação didática).
- Quando temos uma função composta do tipo
multiplicada por , a substituição transforma a integral em , que costuma ser mais simples. - Em símbolos: se
então . Assim integrais da forma viram . - No caso prático de funções trigonométricas, se aparece
ou frequentemente a boa escolha é , porque cancela a constante que multiplica a função.
Passo 3
Separar a integral em duas integrais mais simples (linearidade da integral).
Assim resolvemos cada parcela com substituição apropriada.
Passo 4
Resolver
por substituição.
- Faça a escolha
. - Então
, ou equivalentemente . - Substituindo na integral:
- Sabendo que
, obtemos
(Explicação extra: a integral de
é
porque a derivada de
é
.)
Passo 5
Resolver
(lembrando do sinal negativo na soma original).
- Primeiro considere
. Use . - Então
, isto é . - Substituindo:
- Sabendo que
, tem-se
- Como na integral original havia
, então essa parcela contribui com .
Passo 6
Juntar os resultados das duas parcelas e combinar constantes.
- Da Passo 4 obtivemos
. - Da Passo 5, com o sinal negativo, obtemos
. - Somando e juntando as constantes
e em uma única constante arbitrária , a primitiva da função inteira é
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confirmação).
- Derivando
:
- Somando:
, que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.