Resolva as seguintes integrais
\int \frac{6 x}{3 x^{2}+4} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{6x}{3x^{2}+4}\,dx.
  • O integrando é a função racional \dfrac{6x}{3x^{2}+4}, definida para todo x porque 3x^{2}+4>0 sempre.
  • A resposta deve ser uma primitiva (família de funções) mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso importa):
  • Quando a parte de cima (o numerador) é proporcional à derivada da parte de baixo (o denominador), uma técnica muito eficiente é a substituição simples.
  • Aqui o denominador é 3x^{2}+4. A derivada dessa função em relação a x é 6x.
  • Como o numerador é exatamente 6x, isso indica que podemos usar a substituição u = 3x^{2}+4 e transformar a integral numa forma básica que sabemos integrar.

Passo 3

Fazer a substituição e reescrever a integral:
  • Defina u = 3x^{2}+4. Então calcule du.
du = \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+4\bigr)\,dx = 6x\,dx.
  • Note que 6x\,dx = du. Portanto a integral original se transforma diretamente em uma integral em u:
\int \frac{6x}{3x^{2}+4}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Integral básica usada e por que:
  • Conhecimento básico de integrais diz que a primitiva de \dfrac{1}{u} (para u\neq 0) é o logaritmo natural:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
  • Aplicando isso à integral em u obtida no passo anterior:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.

Passo 5

Voltar à variável original e comentar a constante / domínio:
  • Substituindo u = 3x^{2}+4 de volta:
\ln|u| + C = \ln\bigl|3x^{2}+4\bigr| + C.
  • Como 3x^{2}+4>0 para todo x, o valor absoluto é desnecessário; podemos escrever simplesmente \ln(3x^{2}+4)+C.
  • C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Verificação rápida (checagem por diferenciação):
  • Diferenciando a primitiva encontrada para confirmar:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(3x^{2}+4)\bigr) = \frac{1}{3x^{2}+4}\cdot \frac{d}{dx}(3x^{2}+4) = \frac{1}{3x^{2}+4}\cdot 6x = \frac{6x}{3x^{2}+4},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\ln(3x^{2}+4)+C

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