Resolva as seguintes integrais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação:
- Pede calcular a integral indefinida
. - O integrando é a função racional
, definida para todo porque sempre. - A resposta deve ser uma primitiva (família de funções) mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso importa):
- Quando a parte de cima (o numerador) é proporcional à derivada da parte de baixo (o denominador), uma técnica muito eficiente é a substituição simples.
- Aqui o denominador é
. A derivada dessa função em relação a é . - Como o numerador é exatamente
, isso indica que podemos usar a substituição e transformar a integral numa forma básica que sabemos integrar.
Passo 3
Fazer a substituição e reescrever a integral:
- Defina
. Então calcule .
- Note que
. Portanto a integral original se transforma diretamente em uma integral em :
Passo 4
Integral básica usada e por que:
- Conhecimento básico de integrais diz que a primitiva de
(para ) é o logaritmo natural:
- Aplicando isso à integral em
obtida no passo anterior:
Passo 5
Voltar à variável original e comentar a constante / domínio:
- Substituindo
de volta:
- Como
para todo , o valor absoluto é desnecessário; podemos escrever simplesmente . -
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Verificação rápida (checagem por diferenciação):
- Diferenciando a primitiva encontrada para confirmar:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.