Calcule as integrais
\int \sin ^{5}(x) \sin ^{2}(x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{5}(x)\sin^{2}(x)\,dx.
Informações dadas: a expressão a integrar é \sin^{5}(x)\sin^{2}(x), a variável de integração é x e devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) mais constante de integração C. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica do integrando: podemos combinar as potências de seno porque são multiplicações da mesma função. Assim,
\sin^{5}(x)\sin^{2}(x)=\sin^{7}(x).
Isso deixa a integral mais clara:
\int \sin^{7}(x)\,dx.

Passo 3

Estratégia para potências ímpares de seno (explicação didática): quando temos \sin^{n}(x) com n ímpar, é útil separar um fator \sin(x) e expressar o resto em termos de \cos(x) usando a identidade de Pitágoras
\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x).
A ideia é deixar um \sin(x)\,dx isolado para usar a substituição u=\cos(x), pois du=-\sin(x)\,dx. Aqui n=7, que é ímpar, então vamos aplicar essa técnica.

Passo 4

Separe um fator \sin(x) e escreva o resto em potências de \sin^{2}(x):
\sin^{7}(x)=\sin^{6}(x)\sin(x)=(\sin^{2}(x))^{3}\sin(x).
Usando \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x), obtemos
\sin^{7}(x)=(1-\cos^{2}(x))^{3}\sin(x).

Passo 5

Faça a substituição adequada. Defina
u=\cos(x).
Então a diferencial é
du=-\sin(x)\,dx,
ou seja \sin(x)\,dx=-du. Substituindo na integral:
\int \sin^{7}(x)\,dx=\int (1-\cos^{2}(x))^{3}\sin(x)\,dx = \int (1-u^{2})^{3}(-du).
Portanto
\int \sin^{7}(x)\,dx = -\int (1-u^{2})^{3}\,du.

Passo 6

Expanda o polinômio (1-u^{2})^{3} usando binômio de Newton:
(1-u^{2})^{3}=1-3u^{2}+3u^{4}-u^{6}.
Substituindo na integral:
-\int (1-u^{2})^{3}\,du = -\int \bigl(1-3u^{2}+3u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo. Lembre que
\int u^{k}\,du=\frac{u^{k+1}}{k+1}\quad\text{para }k\neq-1.

Passo 7

Calcule a primitiva dos termos (fazendo cada passo):
\int 1\,du = u,
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5},
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7}.
Portanto
-\int \bigl(1-3u^{2}+3u^{4}-u^{6}\bigr)\,du = -\Bigl(u -3\cdot\frac{u^{3}}{3} +3\cdot\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7}\Bigr)+C.
Simplificando os coeficientes:
-\Bigl(u - u^{3} + \frac{3}{5}u^{5} - \frac{1}{7}u^{7}\Bigr)+C.

Passo 8

Distribua o sinal negativo e volte à variável x substituindo u=\cos(x):
- u + u^{3} - \frac{3}{5}u^{5} + \frac{1}{7}u^{7} + C,
ou seja
-\cos(x) + \cos^{3}(x) - \frac{3}{5}\cos^{5}(x) + \frac{1}{7}\cos^{7}(x) + C.

Resposta

-\cos(x) + \cos^{3}(x) - \frac{3}{5}\cos^{5}(x) + \frac{1}{7}\cos^{7}(x) + C

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