Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a expressão a integrar é
, a variável de integração é
e devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) mais constante de integração
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica do integrando: podemos combinar as potências de seno porque são multiplicações da mesma função. Assim,
Isso deixa a integral mais clara:
Passo 3
Estratégia para potências ímpares de seno (explicação didática): quando temos
com
ímpar, é útil separar um fator
e expressar o resto em termos de
usando a identidade de Pitágoras
A ideia é deixar um
isolado para usar a substituição
, pois
. Aqui
, que é ímpar, então vamos aplicar essa técnica.
Passo 4
Separe um fator
e escreva o resto em potências de
:
Usando
, obtemos
Passo 5
Faça a substituição adequada. Defina
Então a diferencial é
ou seja
. Substituindo na integral:
Portanto
Passo 6
Expanda o polinômio
usando binômio de Newton:
Substituindo na integral:
Agora integramos termo a termo. Lembre que
Passo 7
Calcule a primitiva dos termos (fazendo cada passo):
Portanto
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Distribua o sinal negativo e volte à variável
substituindo
:
ou seja
Resposta
-\cos(x) + \cos^{3}(x) - \frac{3}{5}\cos^{5}(x) + \frac{1}{7}\cos^{7}(x) + C