Resolva as seguintes integrais:
integral d xx(1+x^2)=
R: 12 ln |x^2x^2+1|+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral que é . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Vamos precisar separar a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1x(1 + x^2) = Ax + Bx + C1 + x^2 em frações parciais. Isso significa escrever essa expressão como a soma de frações mais simples que a multiplicação dá de volta à original. Assumimos que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(1 + x^2) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
1 = A + Ax^2 + Bx^2 + Cx
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Termo constante:
  • Termo com :
  • Termo com :
Com , então .

Passo 5

Substituímos os valores de 1x(1 + x^2) = 1x + -x1 + x^2 , e na decomposição original:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x , dx - integral x1 + x^2 , dx
A primeira integral é direta, e para a segunda, fazemos uma substituição simples.

Passo 7

Calculando as integrais:
integral 1x , dx = ln |x| + C1
Para integral x1 + x^2 , dx = 12 ln |1 + x^2| + C2 , seja , então , ou seja, .
Então:

Passo 8

Juntando as integrais:
ln |x| - 12 ln |1 + x^2| + C
Podemos simplificar isso utilizando propriedades dos logaritmos:
12 ln |x^2| - 12 ln |1 + x^2| + C = 12 ln |x^21 + x^2| + C

Resposta

integral dxx(1 + x^2) = 12 ln |x^2x^2+1| + C

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