Use o teste do termo de ordem
para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos usar o teste do termo de ordem
para determinar se essa série diverge ou se é necessária uma investigação adicional.
Passo 2
O teste do termo de ordem
, também conhecido como teste da divergência, nos diz que se o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge. Caso o limite seja zero, o teste não nos dá uma conclusão e precisamos analisar de outra forma.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral da série:
Primeiro, simplificamos a fração dentro do logaritmo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Portanto,
Passo 5
Observamos que:
é um número constante e diferente de zero. Segundo o teste do termo de ordem
, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge.
Resposta
A série diverge.