Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que: lim x 0 tg x-sen xx^3=12

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0tan x - sin xx^3 sem usar a regra de L’Hospital. O conteúdo principal aqui é usar as séries de Taylor de sin x e tan x até o termo de ordem x^3.

Passo 2

Começamos expandindo sin x em série de Taylor centrada em 0 até a ordem x^3. Sabemos que
sin x = x - x^33! + o(x^3) = x - x^36 + o(x^3),

Passo 3

Agora expandimos tan x em série de Taylor centrada em 0 até a ordem x^3. O resultado é
tan x = x + x^33 + o(x^3)

Passo 4

Subtraindo as expansões e dividindo por x^3 temos:
tan x - sin x = l(x + x^33 + o(x^3)r) - l(x - x^36 + o(x^3)r) = x^33 + x^36 + o(x^3) = x^32 + o(x^3)

Passo 5

Portanto,
tan x - sin xx^3 = x^32 + o(x^3)x^3 = 12 + o(1),
e assim o limite quando xto0 é 1/2.

Resposta

tfrac12

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