Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que aparece no estudo de funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica essencial do cálculo integral. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes e aplicá-la várias vezes até conseguir simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, escolhemos
e
. Assim, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
e
:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com
e
.
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, resolvemos
usando integração por partes novamente. Escolhemos
e
.
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Substituindo de volta nas etapas anteriores:
Simplificando:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a
. Observe que, quando
tende a
, todas as expressões envolvendo
multiplicadas por
tendem a zero. E quando
, as expressões também se anulam porque cada termo tem um fator de
.
Portanto, a integral se simplifica para:
Resposta
O valor da integral
é igual a 6.