Resolva as seguintes integrais:
integral0^+infty e^-t t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que aparece no estudo de funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica essencial do cálculo integral. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes e aplicá-la várias vezes até conseguir simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos e . Assim, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando du = ddt(t^3) , dt = 3t^2 , dt e v = integral e^-t , dt = -e^-t :
integral t^3 e^-t , dt = -t^3 e^-t + integral 3t^2 e^-t , dt
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral du = 2t , dt . Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com v = -e^-t e integral 3t^2 e^-t , dt = 3( -t^2 e^-t + integral 2t e^-t , dt ) .
Calculando:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, resolvemos du = dt usando integração por partes novamente. Escolhemos v = -e^-t e integral 2t e^-t , dt = 2( -t e^-t + integral e^-t , dt ) = 2( -t e^-t - e^-t ) .
Calculando:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Substituindo de volta nas etapas anteriores:
integral t^3 e^-t , dt = -t^3 e^-t + 3( -t^2 e^-t + 2( -t e^-t - e^-t ) )
Simplificando:
= -t^3 e^-t - 3t^2 e^-t - 6t e^-t - 6 e^-t

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a integral0^+infty e^-t t^3 , dt = 0 - (-6) = 6 . Observe que, quando tende a , todas as expressões envolvendo multiplicadas por tendem a zero. E quando , as expressões também se anulam porque cada termo tem um fator de .
Portanto, a integral se simplifica para:

Resposta

O valor da integral é igual a 6.

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