Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro da área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas e substituições. Para resolver, vamos precisar entender como manipular integrais que envolvem a função arctangente e aplicar algumas técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar $ u = \arctan x $. Isso significa que precisamos encontrar $ du $ em termos de $ x $.
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso nos ajuda a substituir a parte da integral que envolve $ dx $.
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral original usando a substituição que fizemos:
Aqui, substituímos os limites de integração. Quando $ x = 0 $, $ u = \arctan 0 = 0 $. Quando $ x $ tende ao infinito, $ \arctan x $ tende a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Vamos resolver essa integral básica.
Passo 6
Integrando $ u $ em relação a $ u $:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante de integração.
Passo 7
Aplicamos os limites de integração:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.