Resolva as seguintes integrais:
integral0^+infty arctg x1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^+infty arctan x1 + x^2 , dx. Esse exercício está dentro da área de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas e substituições. Para resolver, vamos precisar entender como manipular integrais que envolvem a função arctangente e aplicar algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar $ u = \arctan x $. Isso significa que precisamos encontrar $ du $ em termos de $ x $.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso nos ajuda a substituir a parte da integral que envolve $ dx $.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral original usando a substituição que fizemos:
integral0^+infty arctan x1 + x^2 , dx = integralu=0^u=pi2 u , du
Aqui, substituímos os limites de integração. Quando $ x = 0 $, $ u = \arctan 0 = 0 $. Quando $ x $ tende ao infinito, $ \arctan x $ tende a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral0^pi2 u , du
Vamos resolver essa integral básica.

Passo 6

Integrando $ u $ em relação a $ u $:
u
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
[ u^22 ]0^pi2 = (pi2)^22 - 0^22 = pi^28

Resposta

Portanto, o valor da integral é pi^28.

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