Resolva as seguintes integrais pela regra da substituição
integral raiz2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raiz2x+1,dx
usando a técnica de substituição. A ideia é identificar uma parte interna composta (a expressão dentro da raiz) e fazer uma mudança de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2x + 1
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
dudx = 2 Longrightarrow du = 2,dx Longrightarrow dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos raiz2x+1 por raizu e dx por tfracdu2:
integral raiz2x+1,dx = integral raizu,du2 = 12integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos em u. Como
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32,
vemos que
12integral u^tfrac12,du = 12cdot23,u^tfrac32 = 13,u^tfrac32 + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2x+1 no resultado:
13,u^tfrac32 + C = 13,(2x+1)^tfrac32 + C

Resposta

integral raiz2x+1,dx = (2x+1)^tfrac323 + C

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