Resolva as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
  • integral x^3 ln x d x
  • integral x cos (7 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais
integral x^3ln x,dx e integral xcos(7x),dx
usando o método de integração por partes. A fórmula básica é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos escolher para cada integral u e dv de forma a simplificar o resultado.

Passo 2

Para integral x^3ln x,dx, escolhemos
u = ln x, dv = x^3,dx,
pois derivar ln x simplifica e integrar x^3 é direto.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 1x,dx, v = integral x^3,dx = x^44
Aplicando a fórmula por partes:
integral x^3ln x,dx = u,v - integral v,du = x^44ln x - integral x^44cdot1x,dx = x^44ln x - 14integral x^3,dx
Como integral x^3,dx = tfracx^44, vem
integral x^3ln x,dx = x^44ln x - 14cdotx^44 = x^44ln x - x^416 + C1

Passo 4

Para integral xcos(7x),dx, escolhemos
u = x, dv = cos(7x),dx,
pois derivar x entrega 1 e integrar cos(7x) é direto.

Passo 5

Calculamos du e v:
du = dx, v = integral cos(7x),dx = 17sin(7x)
Aplicando a fórmula por partes:
integral xcos(7x),dx = u,v - integral v,du = xsin(7x)7 - integral 17sin(7x),dx = xsin(7x)7 - 17integral sin(7x),dx
Como integral sin(7x),dx = -17cos(7x), resulta
integral xcos(7x),dx = xsin(7x)7 + 149cos(7x) + C2

Resposta

integral x^3ln x,dx = x^44ln x - x^416 + C
integral xcos(7x),dx = xsin(7x)7 + cos(7x)49 + C

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