Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{\ln ^{3}(\mathrm{x})}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá. O problema é calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln^{3}(x)}{x}\,dx.
O que se pede: encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\ln^{3}(x)}{x}. Informação implícita importante: a função \ln(x) está definida apenas para x>0, então a primitiva será válida para x>0.

Passo 2

Escolher uma mudança de variável adequada. Observação didática: quando aparece uma composição do tipo \ln(x) junto com um fator \dfrac{1}{x}\,dx, é clássico usar a substituição
u=\ln(x),
porque a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}, ou seja,
du=\frac{1}{x}\,dx.
Explicando: u é a nova variável que representa o valor da função \ln(x). O diferencial du expressa como pequenas variações em u se relacionam com pequenas variações em x. Aqui essa relação é exatamente du=\dfrac{1}{x}\,dx, que aparece multiplicando \ln^3(x) no integrando, então a substituição vai simplificar a integral.

Passo 3

Aplicar a substituição na integral. Com u=\ln(x) e du=\dfrac{1}{x}\,dx, temos
\int \frac{\ln^{3}(x)}{x}\,dx = \int u^{3}\,du.
Comentário: toda a dependência em x foi trocada por u, e o diferencial dx foi substituído por du usando a igualdade du=\dfrac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral em u. Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, portanto
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando a fórmula: aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente.

Passo 5

Voltar à variável original x. Como u=\ln(x), substitui-se de volta:
F(x)=\frac{\ln^{4}(x)}{4}+C.
Essa é a primitiva encontrada, válida para x>0.

Passo 6

Confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que recuperamos a integranda. Seja
F(x)=\frac{\ln^{4}(x)}{4}.
Vamos calcular F'(x) usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se F(x)=g(h(x)), então F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g(u)=\dfrac{u^{4}}{4} e h(x)=\ln(x). Primeiro
g'(u)=\frac{4u^{3}}{4}=u^{3}.
E
h'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Aplicando a cadeia,
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\big(h(x)\big)^{3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln^{3}(x)}{x}.
Isso é exatamente a função integranda original, portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Comentário final de incentivo e dica prática: este tipo de integral é padrão — sempre que vir \ln(x) elevado a uma potência sobre x, pense imediatamente em u=\ln(x). Faz a conta virar uma potência simples em u, que geralmente é muito mais fácil de integrar. Boa! Você já acertou uma técnica que cai muito em provas.

Resposta

\frac{\ln^{4}(x)}{4}+C

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