Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá. O problema é calcular a integral indefinida
O que se pede: encontrar uma primitiva
tal que
. Informação implícita importante: a função
está definida apenas para
, então a primitiva será válida para
.
Passo 2
Escolher uma mudança de variável adequada. Observação didática: quando aparece uma composição do tipo
junto com um fator
, é clássico usar a substituição
porque a derivada de
é
, ou seja,
Explicando:
é a nova variável que representa o valor da função
. O diferencial
expressa como pequenas variações em
se relacionam com pequenas variações em
. Aqui essa relação é exatamente
, que aparece multiplicando
no integrando, então a substituição vai simplificar a integral.
Passo 3
Aplicar a substituição na integral. Com
e
, temos
Comentário: toda a dependência em
foi trocada por
, e o diferencial
foi substituído por
usando a igualdade
.
Passo 4
Calcular a integral em
. Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, portanto
onde
é a constante de integração. Explicando a fórmula: aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente.
Passo 5
Voltar à variável original
. Como
, substitui-se de volta:
Essa é a primitiva encontrada, válida para
.
Passo 6
Confirmar a resposta derivando a primitiva e verificando que recuperamos a integranda. Seja
Vamos calcular
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se
, então
. Aqui
e
. Primeiro
E
Aplicando a cadeia,
Isso é exatamente a função integranda original, portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Comentário final de incentivo e dica prática: este tipo de integral é padrão — sempre que vir
elevado a uma potência sobre
, pense imediatamente em
. Faz a conta virar uma potência simples em
, que geralmente é muito mais fácil de integrar. Boa! Você já acertou uma técnica que cai muito em provas.