Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular a integral
. - Informações úteis do integrando (tiradas do próprio enunciado):
- A função contém o fator
. - A outra parte é
.
- A função contém o fator
- Objetivo final: encontrar uma primitiva
tal que , e confirmar a resposta derivando a primitiva para recuperar o integrando.
Passo 2
Escolha da mudança de variável e justificativa (explicação didática):
- Quando na integral aparece um fator do tipo
junto com uma potência de , uma boa estratégia é fazer a mudança de variável que transforma numa nova variável. Isso funciona porque a derivada de é exatamente . - Defina a mudança de variável:
Agora vamos relacionar os diferenciais. Derivando ambos os lados em relação a , Portanto o diferencial é - Observação prática: isso significa que o pedaço
da integral pode ser simplesmente trocado por , e a potência vira .
Passo 3
Substituição efetiva e cálculo da integral na variável
:
- Reescrevendo a integral em
: - Agora aplicamos a regra de potência para primitivas: para
, Aqui , logo onde é a constante de integração.
Passo 4
Confirmação (derivando a primitiva em termos de
e voltando a
):
- Tomemos a primitiva obtida em
: . - Para verificar que essa primitiva corresponde à integral original, derivamos em relação a
. Usando a regra da cadeia: - Substituindo
e (isto é, voltando à variável original), que é precisamente o integrando original. Assim a primitiva está confirmada.
Passo 5
Comentário final e dica de prova
- A etapa essencial foi identificar que
é o diferencial de . Essa é uma dica que costuma salvar tempo na prova: sempre procure um pedaço do integrando que seja a derivada exata de outra parte do integrando. - Não esquecer da constante de integração
. - Se for pedido, prestar atenção ao domínio (por exemplo,
e têm descontinuidades onde ); em problemas de cálculo de primitivas simples em provas, normalmente isso não impede a resposta padrão com .