Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \operatorname{tg}^{5}(\mathrm{x}) \operatorname{sec} ^{2}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular a integral \displaystyle \int \operatorname{tg}^{5}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
  • Informações úteis do integrando (tiradas do próprio enunciado):
    • A função contém o fator \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
    • A outra parte é \operatorname{tg}^{5}(x).
  • Objetivo final: encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\operatorname{tg}^{5}(x)\operatorname{sec}^{2}(x), e confirmar a resposta derivando a primitiva para recuperar o integrando.

Passo 2

Escolha da mudança de variável e justificativa (explicação didática):
  • Quando na integral aparece um fator do tipo \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx junto com uma potência de \operatorname{tg}(x), uma boa estratégia é fazer a mudança de variável que transforma \operatorname{tg}(x) numa nova variável. Isso funciona porque a derivada de \operatorname{tg}(x) é exatamente \operatorname{sec}^{2}(x).
  • Defina a mudança de variável: u = \operatorname{tg}(x).Agora vamos relacionar os diferenciais. Derivando ambos os lados em relação a x, \frac{du}{dx} = \operatorname{sec}^{2}(x).Portanto o diferencial é du = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
  • Observação prática: isso significa que o pedaço \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx da integral pode ser simplesmente trocado por du, e a potência \operatorname{tg}^{5}(x) vira u^{5}.

Passo 3

Substituição efetiva e cálculo da integral na variável u:
  • Reescrevendo a integral em u: \int \operatorname{tg}^{5}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \int u^{5}\,du.
  • Agora aplicamos a regra de potência para primitivas: para n\neq -1, \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.Aqui n=5, logo \int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C,onde C é a constante de integração.

Passo 4

Confirmação (derivando a primitiva em termos de u e voltando a x):
  • Tomemos a primitiva obtida em u: \dfrac{u^{6}}{6}+C.
  • Para verificar que essa primitiva corresponde à integral original, derivamos em relação a x. Usando a regra da cadeia: \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u^{6}}{6}\right) = \frac{6\,u^{5}}{6}\cdot\frac{du}{dx} = u^{5}\cdot\frac{du}{dx}.
  • Substituindo \dfrac{du}{dx}=\operatorname{sec}^{2}(x) e u=\operatorname{tg}(x) (isto é, voltando à variável original), \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u^{6}}{6}\right)=\operatorname{tg}^{5}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x),que é precisamente o integrando original. Assim a primitiva está confirmada.

Passo 5

Comentário final e dica de prova
  • A etapa essencial foi identificar que \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx é o diferencial de \operatorname{tg}(x). Essa é uma dica que costuma salvar tempo na prova: sempre procure um pedaço do integrando que seja a derivada exata de outra parte do integrando.
  • Não esquecer da constante de integração C.
  • Se for pedido, prestar atenção ao domínio (por exemplo, \operatorname{tg}(x) e \operatorname{sec}(x) têm descontinuidades onde \cos(x)=0); em problemas de cálculo de primitivas simples em provas, normalmente isso não impede a resposta padrão com +C.

Resposta

\dfrac{\tan^{6}(x)}{6}+C

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