Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida usando mudança de variável e, em seguida, confirmar a resposta derivando a primitiva para recuperar a função integranda. A integral é
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}.
Informações dadas:
  • A integranda é a função x\mapsto \dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}.
  • Quer-se encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}.
  • É obrigatório usar mudança de variável e, depois, verificar derivando a primitiva.

Passo 2

Escolha da mudança de variável (explicação didática e motivação).
  • Observação útil: o denominador contém e^{x} e e^{-x}. Uma mudança natural é usar u=e^{x}, porque e^{-x}=u^{-1} e e^{2x}=u^{2}, o que tende a simplificar a expressão para uma forma conhecida.
  • Alternativa possível seria fatorar e^{-x} no denominador, mas isso conduz à mesma transformação prática. Vou seguir com u=e^{x} por ser direta e levar a uma integral padrão.

Passo 3

Calcular o diferencial correspondente.
  • Se u=e^{x}, então
du = e^{x}\,dx.
  • Portanto podemos escrever
e^{x}\,dx = du.

Passo 4

Reescrever a integranda para tornar a substituição direta.
  • Multiplicando numerador e denominador por e^{x} obtemos uma forma equivalente mais conveniente:
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}.
  • Aqui a manipulação é: \dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}} = \dfrac{e^{x}}{e^{x}(e^{x}+e^{-x})} = \dfrac{e^{x}}{e^{2x}+1}.

Passo 5

Fazer a substituição u=e^{x} na integral.
  • Usando e^{x}\,dx = du e e^{2x}=u^{2}, a integral vira
\int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}+1} = \int \frac{du}{u^{2}+1}.

Passo 6

Resolver a integral em u e explicar a fórmula usada.
  • A integral padrão é
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C.
  • Por que isso é verdade? Uma justificativa curta: se y=\arctan(u) então \tan y=u. Derivando ambos os lados em relação a u obtemos \operatorname{sec}^{2}y\cdot \dfrac{dy}{du}=1. Como \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y=1+u^{2}, segue \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Logo a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan(u).

Passo 7

Voltar à variável original x.
  • Substituindo u=e^{x} de volta, a primitiva em x é
F(x)=\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 8

Confirmar derivando a primitiva para recuperar a integranda (verificação).
  • Calcular F'(x) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\arctan\bigl(e^{x}\bigr) =\frac{1}{1+e^{2x}}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) =\frac{1}{1+e^{2x}}\cdot e^{x} =\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.
  • Mostrar que isso é igual à integranda original:
\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}=\frac{1}{e^{-x}+e^{x}}=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}},
onde para passar da primeira para a segunda forma multiplicou-se numerador e denominador por e^{-x}. Portanto F'(x)=\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}, como exigido.

Resposta

\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C

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