Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida usando mudança de variável e, em seguida, confirmar a resposta derivando a primitiva para recuperar a função integranda. A integral é
Informações dadas:
- A integranda é a função
. - Quer-se encontrar uma primitiva
tal que . - É obrigatório usar mudança de variável e, depois, verificar derivando a primitiva.
Passo 2
Escolha da mudança de variável (explicação didática e motivação).
- Observação útil: o denominador contém
e . Uma mudança natural é usar , porque e , o que tende a simplificar a expressão para uma forma conhecida. - Alternativa possível seria fatorar
no denominador, mas isso conduz à mesma transformação prática. Vou seguir com por ser direta e levar a uma integral padrão.
Passo 3
Calcular o diferencial correspondente.
- Se
, então
- Portanto podemos escrever
Passo 4
Reescrever a integranda para tornar a substituição direta.
- Multiplicando numerador e denominador por
obtemos uma forma equivalente mais conveniente:
- Aqui a manipulação é:
.
Passo 5
Fazer a substituição
na integral.
- Usando
e , a integral vira
Passo 6
Resolver a integral em
e explicar a fórmula usada.
- A integral padrão é
- Por que isso é verdade? Uma justificativa curta: se
então . Derivando ambos os lados em relação a obtemos . Como , segue . Logo a primitiva de é .
Passo 7
Voltar à variável original
.
- Substituindo
de volta, a primitiva em é
onde
é constante de integração.
Passo 8
Confirmar derivando a primitiva para recuperar a integranda (verificação).
- Calcular
usando a regra da cadeia:
- Mostrar que isso é igual à integranda original:
onde para passar da primeira para a segunda forma multiplicou-se numerador e denominador por
. Portanto
, como exigido.