Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado: a igualdade proposta
. - Pedido: usar o conceito de primitiva para verificar se essa igualdade está correta.
Passo 2
O que é primitiva (explicação passo a passo, bem mastigada):
- Dizemos que uma função
é uma primitiva (ou antiderivada) de se, e somente se,
para todo
no domínio considerado.
- Então, para verificar se uma expressão
é primitiva de , basta derivar e ver se obtemos . - Lembrete da regra da cadeia (importantíssima aqui): se
, então
Isto significa que, ao derivar uma composta, multiplicamos pela derivada do argumento.
Passo 3
Aplicando a definição ao candidato dado:
- O candidato dado é
(vou usar no cálculo, é o mesmo). - Calcular a derivada de
usando a regra da cadeia. Tome . Então . - Usando a regra da cadeia,
Passo 4
Comparação com o integrando:
- O integrando original é
. - A derivada do candidato é
. - Como
(a menos que , o que não é o caso em geral), concluímos que NÃO é primitiva de . - Portanto a igualdade proposta está incorreta: falta um fator
.
Passo 5
Encontrando a primitiva correta (duas formas, passo a passo):
Método 1 — substituição simples:
Método 1 — substituição simples:
- Faça
. Então ou . - Substituindo na integral,
- Sabendo que
, obtemos
Método 2 — regra direta (memorização/uso do reverso da regra da cadeia):
- Para constante
,
- Aqui
, logo .
Passo 6
Verificação final (checar diferenciando a resposta):
- Diferencie
:
- Como a derivada é exatamente o integrando, a primitiva está correta e verificada.
Passo 7
Resumo prático e dica para a prova (amigável e curto):
- Erro comum: esquecer o fator
ao integrar ou . Sempre pense “inverso da regra da cadeia”: multiplica por na derivada, então divide por na primitiva. - Exemplos rápidos:
- Confie na verificação por derivação: nesse tipo de questão, derive a resposta proposta — se não voltar ao integrando, está errada. Você consegue!
Resposta
Incorreta. A primitiva correta é
.