Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas.
\int \cos (7 x) d x=\operatorname{sen}(7 x)+c

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: a igualdade proposta \displaystyle \int \cos(7x)\,dx = \operatorname{sen}(7x)+C.
  • Pedido: usar o conceito de primitiva para verificar se essa igualdade está correta.

Passo 2

O que é primitiva (explicação passo a passo, bem mastigada):
  • Dizemos que uma função F(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f(x) se, e somente se,
F'(x)=f(x)
para todo x no domínio considerado.
  • Então, para verificar se uma expressão G(x)+C é primitiva de f(x), basta derivar G(x) e ver se obtemos f(x).
  • Lembrete da regra da cadeia (importantíssima aqui): se G(x)=\sin(u(x)), então
G'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa que, ao derivar uma composta, multiplicamos pela derivada do argumento.

Passo 3

Aplicando a definição ao candidato dado:
  • O candidato dado é G(x)=\operatorname{sen}(7x) (vou usar \sin no cálculo, é o mesmo).
  • Calcular a derivada de G(x)=\sin(7x) usando a regra da cadeia. Tome u(x)=7x. Então u'(x)=7.
  • Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\sin(7x)\big)=\cos(7x)\cdot 7 = 7\cos(7x).

Passo 4

Comparação com o integrando:
  • O integrando original é \cos(7x).
  • A derivada do candidato é 7\cos(7x).
  • Como 7\cos(7x)\neq\cos(7x) (a menos que \cos(7x)\equiv 0, o que não é o caso em geral), concluímos que \sin(7x)+C NÃO é primitiva de \cos(7x).
  • Portanto a igualdade proposta está incorreta: falta um fator 1/7.

Passo 5

Encontrando a primitiva correta (duas formas, passo a passo):
Método 1 — substituição simples:
  • Faça u=7x. Então du=7\,dx ou dx=\dfrac{du}{7}.
  • Substituindo na integral,
\int \cos(7x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{7} = \frac{1}{7}\int \cos(u)\,du.
  • Sabendo que \displaystyle \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C, obtemos
\int \cos(7x)\,dx = \frac{1}{7}\sin(u)+C = \frac{1}{7}\sin(7x)+C.
Método 2 — regra direta (memorização/uso do reverso da regra da cadeia):
  • Para constante a\neq 0,
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C.
  • Aqui a=7, logo \displaystyle \int \cos(7x)\,dx=\frac{1}{7}\sin(7x)+C.

Passo 6

Verificação final (checar diferenciando a resposta):
  • Diferencie F(x)=\dfrac{1}{7}\sin(7x)+C:
F'(x)=\frac{1}{7}\cdot\big(7\cos(7x)\big)=\cos(7x).
  • Como a derivada é exatamente o integrando, a primitiva está correta e verificada.

Passo 7

Resumo prático e dica para a prova (amigável e curto):
  • Erro comum: esquecer o fator 1/a ao integrar \cos(ax) ou \sin(ax). Sempre pense “inverso da regra da cadeia”: multiplica por a na derivada, então divide por a na primitiva.
  • Exemplos rápidos:
\int \cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\sin(2x)+C,\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.
  • Confie na verificação por derivação: nesse tipo de questão, derive a resposta proposta — se não voltar ao integrando, está errada. Você consegue!

Resposta

Incorreta. A primitiva correta é \displaystyle \int \cos(7x)\,dx=\frac{1}{7}\sin(7x)+C.

Exercícios relacionados