Resolva as seguintes integrais usando a técnica de substituição:
a) integral1^2(x^2-1)(x-1)^2023 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 de (x^2-1)(x-1)^2023 usando a técnica de substituição. O conteúdo principal é integração de polinômios via mudança de variável, e vamos precisar fatorar x^2-1 para simplificar o integrando antes de trocar de variável.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que x^2-1 é uma diferença de quadrados e fatoramos:
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Então o integrando fica:
(x^2-1)(x-1)^2023 = (x-1)(x+1)(x-1)^2023 = (x+1)(x-1)^2024

Passo 3

Definimos agora a substituição u = x-1. Logo, du = dx e também x+1 = u+2. Quando x=1, u=0; quando x=2, u=1.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u, temos:
$$
\int_{1}{2}(x+1)(x-1){2024}dx = \int_{0}{1}(u+2)u{2024}du
integral1^2(x+1)(x-1)^2024dx = integral0^1(u+2)u^2024du ê
\int_{0}{1}u{2025}du + 2\int_{0}{1}u{2024}du
$$

Passo 5

Para integrar usamos a fórmula integral u^k du = u^k+1/(k+1). Assim as primitivas são u^2026/2026 e 2u^2025/2025. Avaliando de 0 a 1:
l[u^20262026 + 2u^20252025r]0^1 = 12026 + 22025

Resposta

12026 + 22025

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