Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas importantes:
O enunciado instrui a usar a técnica de frações parciais. Aqui temos um denominador que é uma quadrática irreduzível
elevada ao quadrado, então a decomposição em frações parciais apropriada terá termos do tipo
e
. A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Formule a decomposição em frações parciais adequada para uma quadrática irreduzível repetida. Seja
Então procuramos constantes
tais que, como identidade de polinômios,
Essa é a forma padrão: para
irreduzível e multiplicidade
incluímos
e
.
Passo 3
Elimine os denominadores multiplicando ambos os lados por
. Obtemos a identidade
Substitua
e expanda o produto
:
Somando
temos
Passo 4
Compare coeficientes entre os polinômios (o lado esquerdo é
Resolva o sistema passo a passo: de
pela segunda equação; então a terceira dá
e a quarta dá
.]
Passo 5
Com os valores encontrados
a decomposição fica
ou seja, o termo sobre
some e a fração já estava na forma
com
. Isso confirma que devemos integrar diretamente
Passo 6
Para integrar racionalmente, escrevemos o numerador como combinação da derivada de
e de uma constante. Calcule a derivada
Procuramos constantes
e
tais que
Igualando coeficientes em
obtemos
e
. Portanto
Passo 7
Use essa decomposição para separar a integral:
Passo 8
Calcule a primeira integral por substituição
. Temos
e
Passo 9
Calcule a segunda integral
Faça a substituição
para centrar a quadrática: precisamos de
onde
. Seja
. Use a substituição trigonométrica
, então
e
. O integrando vira
Integrando e voltando às variáveis originais (usar
e
) obtemos a fórmula padrão
Agora substitua
e
. Assim
Passo 10
Multiplique essa expressão por
(veja o Passo 7) e some com o termo do Passo 8:
Simplifique sabendo que
:
Combine os dois primeiros termos: