Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de frações parciais:
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas importantes:
\text{numerador: }x-1,\qquad \text{denominador: }\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}.
O enunciado instrui a usar a técnica de frações parciais. Aqui temos um denominador que é uma quadrática irreduzível x^{2}+2x+3 elevada ao quadrado, então a decomposição em frações parciais apropriada terá termos do tipo \dfrac{Ax+B}{x^{2}+2x+3} e \dfrac{Cx+D}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}}. A partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Formule a decomposição em frações parciais adequada para uma quadrática irreduzível repetida. Seja
Q(x)=x^{2}+2x+3.
Então procuramos constantes A,B,C,D tais que, como identidade de polinômios,
\frac{x-1}{Q(x)^{2}}=\frac{Ax+B}{Q(x)}+\frac{Cx+D}{Q(x)^{2}}.
Essa é a forma padrão: para Q irreduzível e multiplicidade 2 incluímos (Ax+B)/Q e (Cx+D)/Q^{2}.

Passo 3

Elimine os denominadores multiplicando ambos os lados por Q(x)^{2}. Obtemos a identidade
x-1=(Ax+B)\,Q(x)+(Cx+D).
Substitua Q(x)=x^{2}+2x+3 e expanda o produto (Ax+B)Q(x):
(Ax+B)(x^{2}+2x+3)=A x^{3}+(2A+B)x^{2}+(3A+2B)x+3B.
Somando Cx+D temos
x-1=A x^{3}+(2A+B)x^{2}+(3A+2B+C)x+(3B+D).

Passo 4

Compare coeficientes entre os polinômios (o lado esquerdo é 0x^{3}+0x^{2}+1x-1\)). Assim obtemos o sistema \[\begin{cases} A=0,\\[4pt] 2A+B=0,\\[4pt] 3A+2B+C=1,\\[4pt] 3B+D=-1. \end{cases}
Resolva o sistema passo a passo: de A=0\] segue \(B=0 pela segunda equação; então a terceira dá C=1 e a quarta dá D=-1.]

Passo 5

Com os valores encontrados A=0,B=0,C=1,D=-1 a decomposição fica
\frac{x-1}{Q(x)^{2}}=\frac{0\cdot x+0}{Q(x)}+\frac{1\cdot x-1}{Q(x)^{2}}=\frac{x-1}{Q(x)^{2}},
ou seja, o termo sobre Q(x) some e a fração já estava na forma \dfrac{Cx+D}{Q^{2}} com C=1,D=-1. Isso confirma que devemos integrar diretamente
\int \frac{x-1}{Q(x)^{2}}\,dx.

Passo 6

Para integrar racionalmente, escrevemos o numerador como combinação da derivada de Q e de uma constante. Calcule a derivada
Q'(x)=2x+2=2(x+1).
Procuramos constantes k e m tais que
x-1 = k\,Q'(x)+m.
Igualando coeficientes em 2k x + 2k + m = x-1 obtemos 2k=1\Rightarrow k=\tfrac{1}{2} e 2k+m=-1\Rightarrow 1+m=-1\Rightarrow m=-2. Portanto
x-1=\tfrac{1}{2}Q'(x)-2.

Passo 7

Use essa decomposição para separar a integral:
\int \frac{x-1}{Q^{2}}\,dx=\int\frac{\tfrac{1}{2}Q'(x)-2}{Q(x)^{2}}\,dx =\tfrac{1}{2}\int\frac{Q'(x)}{Q(x)^{2}}\,dx-2\int\frac{1}{Q(x)^{2}}\,dx.

Passo 8

Calcule a primeira integral por substituição u=Q(x). Temos du=Q'(x)\,dx e
\tfrac{1}{2}\int\frac{Q'(x)}{Q(x)^{2}}\,dx=\tfrac{1}{2}\int\frac{du}{u^{2}}=\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right)=-\frac{1}{2Q(x)}.

Passo 9

Calcule a segunda integral
\int\frac{1}{Q(x)^{2}}\,dx=\int\frac{1}{\big((x+1)^{2}+2\big)^{2}}\,dx.
Faça a substituição t=x+1 para centrar a quadrática: precisamos de
\int\frac{1}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt,
onde t=x+1. Seja a=\sqrt{2}. Use a substituição trigonométrica t=a\tan\theta, então dt=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e t^{2}+a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta. O integrando vira
\int\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\big(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{2}}=\frac{1}{a^{3}}\int\cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{2a^{3}}\int\big(1+\cos2\theta\big)\,d\theta.
Integrando e voltando às variáveis originais (usar \theta=\arctan(t/a) e \sin2\theta=\dfrac{2at}{t^{2}+a^{2}}) obtemos a fórmula padrão
\int\frac{1}{(t^{2}+a^{2})^{2}}\,dt=\frac{t}{2a^{2}(t^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right)+C.
Agora substitua a=\sqrt{2} e t=x+1. Assim
\int\frac{1}{Q(x)^{2}}\,dx =\frac{x+1}{4\big((x+1)^{2}+2\big)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 10

Multiplique essa expressão por -2 (veja o Passo 7) e some com o termo do Passo 8:
-\frac{1}{2Q(x)}-2\left[\frac{x+1}{4\big((x+1)^{2}+2\big)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\right]+C.
Simplifique sabendo que Q(x)=(x+1)^{2}+2:
-\frac{1}{2Q(x)}-\frac{x+1}{2Q(x)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C.
Combine os dois primeiros termos:
-\frac{1+x+1}{2Q(x)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C =-\frac{x+2}{2\big(x^{2}+2x+3\big)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C.

Resposta

-\frac{x+2}{2\big(x^{2}+2x+3\big)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C

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