Resolva os seguintes itens:
(b) Calcule
, onde
é a superfície definida por
e
.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de superfície! A gente precisa calcular a integral dupla de $ z $ sobre a superfície $ S $, que é definida pela equação $ z = x^{2} + y^{2} $ dentro do círculo $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais de superfície e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície $ S $. Ela é um paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $ e limitado pelo círculo $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $. Isso significa que estamos trabalhando com uma superfície parabólica que se estende até o limite do disco unitário no plano $ xy $.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
O limite $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $ se transforma em $ r \leq 1 $.
Passo 4
Precisamos calcular o elemento de área $ dS $ na superfície $ S $. Para uma superfície dada por $ z = f(x, y) $, o elemento de área é:
No nosso caso, $ z = x^{2} + y^{2} $, então:
Substituindo:
Em coordenadas polares:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Lembrando que $ z = r^{2} $, substituímos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $. Fazemos uma substituição para simplificar:
A integral fica:
Integrando:
Substituindo $ u = 1 + 4r^{2} $:
Passo 7
Calculamos os limites de $ r $ de 0 a 1:
Para $ r = 1 $:
Para $ r = 1 $:
Para $ r = 0 $:
Portanto, a integral interna é:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla é igual a $ \frac{5}{3} \pi \sqrt{5} + \frac{\pi}{15} $.