Resolva os seguintes itens:
(b) Calcule integral duplaS z d S, onde S é a superfície definida por z=x^2+y^2 e x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de superfície! A gente precisa calcular a integral dupla de $ z $ sobre a superfície $ S $, que é definida pela equação $ z = x^{2} + y^{2} $ dentro do círculo $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais de superfície e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície $ S $. Ela é um paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $ e limitado pelo círculo $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $. Isso significa que estamos trabalhando com uma superfície parabólica que se estende até o limite do disco unitário no plano $ xy $.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
x^2 + y^2 = r^2
O limite $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $ se transforma em $ r \leq 1 $.

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de área $ dS $ na superfície $ S $. Para uma superfície dada por $ z = f(x, y) $, o elemento de área é:
dS
No nosso caso, $ z = x^{2} + y^{2} $, então:
S
Substituindo:
z = f(x, y)
Em coordenadas polares:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaS z , dS = integral0^2pi integral0^1 z raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta
Lembrando que $ z = r^{2} $, substituímos:
z = r^2

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $. Fazemos uma substituição para simplificar:
r
A integral fica:
u = 1 + 4r^2 Rightarrow du = 8r , dr Rightarrow r , dr = du8
Integrando:
integral r^3 raiz1 + 4r^2 , dr = 18 integral (u - 1) raizu , du = 18 integral (u^3/2 - u^1/2) , du
Substituindo $ u = 1 + 4r^{2} $:
18 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C

Passo 7

Calculamos os limites de $ r $ de 0 a 1:
Para $ r = 1 $:
r
r = 1
Para $ r = 0 $:
18 ( 25 (1 + 4)^5/2 - 23 (1 + 4)^3/2 ) = 18 ( 25 cdot 5^5/2 - 23 cdot 5^3/2 )
Portanto, a integral interna é:
= 18 ( 25 cdot 25raiz5 - 23 cdot 5raiz5 ) = 18 ( 10raiz5 - 103raiz5 ) = 18 cdot 203 raiz5 = 56 raiz5

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Simplificando:
integral0^2pi ( 56 raiz5 + 130 ) dtheta = ( 56 raiz5 + 130 ) cdot 2pi = ( 56 raiz5 + 130 ) cdot 2pi

Resposta

A integral dupla é igual a $ \frac{5}{3} \pi \sqrt{5} + \frac{\pi}{15} $.

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