Seja
. Calcule
, onde
é a superfície parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo ∬ₛ F·dS do campo vetorial F(x,y,z)=(x², x y, y z) sobre a superfície parametrizada por Φ(t,θ)=(t cosθ, t sinθ, t²) com (t,θ)∈[0,1]×[0,π). Isso envolve usar a fórmula de integral de superfície em coordenadas paramétricas: ∬ₛF·dS=∬₀ᴼ F(Φ(t,θ))·(Φ_t×Φ_θ) dt dθ.
Passo 2
Primeiro calculamos os vetores tangentes à superfície: Φ_t e Φ_θ. Como Φ(t,θ)=(t cosθ, t sinθ, t²), temos
O produto vetorial é
Passo 3
Em seguida avaliamos o campo em Φ(t,θ):
Passo 4
Agora fazemos o produto escalar F(Φ)·(Φ_t×Φ_θ):
que simplifica para
Passo 5
Restou calcular a integral dupla:
Separamos as integrais:
$$
\int_{t=0}^1 t⁴,dt=\frac15,
$$
Multiplicando dá
.
Resposta
2/5