Seja F(x, y, z)=(x^2, x y, y z). Calcule integral duplaS F cdot d S, onde S é a superfície parametrizada por Phi(t, theta)= (t cos theta, t sin theta, t^2) com(t, theta) in Omega=[0,1] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo ∬ₛ F·dS do campo vetorial F(x,y,z)=(x², x y, y z) sobre a superfície parametrizada por Φ(t,θ)=(t cosθ, t sinθ, t²) com (t,θ)∈[0,1]×[0,π). Isso envolve usar a fórmula de integral de superfície em coordenadas paramétricas: ∬ₛF·dS=∬₀ᴼ F(Φ(t,θ))·(Φ_t×Φ_θ) dt dθ.

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores tangentes à superfície: Φ_t e Φ_θ. Como Φ(t,θ)=(t cosθ, t sinθ, t²), temos
Φt=(∂/∂t)Φ=(cosθ,sinθ,2t),
Φθ=(∂/∂θ)Φ=(-tsinθ,tcosθ,0)
O produto vetorial é
Φt×Φθ = (-2t²cosθ, -2t²sinθ, t) ²²

Passo 3

Em seguida avaliamos o campo em Φ(t,θ):
F(Φ)=(x²,xy,yz)=(t²cos²θ, t²cosθsinθ, t³sinθ) ²²²²³

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar F(Φ)·(Φ_t×Φ_θ):
F·(Φt×Φθ)=t²cos²θ·(-2t²cosθ)+t²cosθsinθ·(-2t²sinθ)+t³sinθ·t ²²²²²³
que simplifica para
-2t⁴(cos³θ+cosθsin²θ)+t⁴sinθ=-2t⁴cosθ+t⁴sinθ = t⁴(-2cosθ+sinθ) ³²

Passo 5

Restou calcular a integral dupla:
∬ₛF·dS=∫t=0^1∫θ=0^π t⁴(-2cosθ+sinθ),dθ,dt
Separamos as integrais:
$$
\int_{t=0}^1 t⁴,dt=\frac15,
$$
integralt=0^1 t⁴,dt=15,
Multiplicando dá integralθ=0^π(-2cosθ+sinθ),dθ=-2[sinθ]0^π+[−cosθ]0^π=0+2=2 .

Resposta

2/5

Exercícios relacionados