Resolva os seguintes itens:
Esboce a região delimitada por
, e
. Encontre a área da região.
Esboce a região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas $ y = x^{3} $, $ y = -x $ e $ y = 1 $, e depois encontrar a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais, para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde essas curvas se cruzam. Isso ajuda a entender até onde vamos integrar. Vamos resolver as equações duas a duas:
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Entre $ y = x^{3} $ e $ y = -x $:$ x^{3} = -x $$ x^{3} + x = 0 $$ x(x^{2} + 1) = 0 $Daí, $ x = 0 $ ou $ x^{2} + 1 = 0 $. Como não há solução real para $ x^{2} + 1 = 0 $, temos que $ x = 0 $.
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Entre $ y = x^{3} $ e $ y = 1 $:$ x^{3} = 1 $$ x = 1 $
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Entre $ y = -x $ e $ y = 1 $:$ -x = 1 $$ x = -1 $
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região:
- $ y = x^{3} $: é uma função cúbica que passa por (0,0) e se estende para cima e para baixo conforme $ x $ aumenta e diminui.
- $ y = -x $: é uma linha reta que desce da esquerda para a direita, passando pelos pontos (-1,1) e (0,0).
- $ y = 1 $: é uma linha horizontal que corta o eixo $ y $ no ponto (0,1).
Com os pontos de interseção, vemos que a região limitada está entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 4
Para calcular a área dessa região, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de $ x = -1 $ a $ x = 0 $ e de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
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De $ x = -1 $ a $ x = 0 $:A curva de cima é $ y = 1 $ e a de baixo é $ y = -x $.
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De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:A curva de cima é $ y = 1 $ e a de baixo é $ y = x^{3} $.
Usamos a fórmula da área entre duas curvas:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da área separadamente.
- De $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
Integrando:
- De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Integrando:
Passo 6
Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Resposta
A área da região delimitada por $ y = x^{3} $, $ y = -x $ e $ y = 1 $ é $ \frac{5}{4} $ unidades de área.