Resolva os seguintes itens:
Esboce a região delimitada por y=x^3, y=-x, e y=1. Encontre a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas $ y = x^{3} $, $ y = -x $ e $ y = 1 $, e depois encontrar a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais, para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde essas curvas se cruzam. Isso ajuda a entender até onde vamos integrar. Vamos resolver as equações duas a duas:
  1. Entre $ y = x^{3} $ e $ y = -x $:
    $ x^{3} = -x $
    $ x^{3} + x = 0 $
    $ x(x^{2} + 1) = 0 $
    Daí, $ x = 0 $ ou $ x^{2} + 1 = 0 $. Como não há solução real para $ x^{2} + 1 = 0 $, temos que $ x = 0 $.
  2. Entre $ y = x^{3} $ e $ y = 1 $:
    $ x^{3} = 1 $
    $ x = 1 $
  3. Entre $ y = -x $ e $ y = 1 $:
    $ -x = 1 $
    $ x = -1 $
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região:
  • $ y = x^{3} $: é uma função cúbica que passa por (0,0) e se estende para cima e para baixo conforme $ x $ aumenta e diminui.
  • $ y = -x $: é uma linha reta que desce da esquerda para a direita, passando pelos pontos (-1,1) e (0,0).
  • $ y = 1 $: é uma linha horizontal que corta o eixo $ y $ no ponto (0,1).
Com os pontos de interseção, vemos que a região limitada está entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 4

Para calcular a área dessa região, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de $ x = -1 $ a $ x = 0 $ e de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
  • De $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
    A curva de cima é $ y = 1 $ e a de baixo é $ y = -x $.
  • De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
    A curva de cima é $ y = 1 $ e a de baixo é $ y = x^{3} $.
Usamos a fórmula da área entre duas curvas:
x = -1 Á

Passo 5

Vamos calcular cada parte da área separadamente.
  1. De $ x = -1 $ a $ x = 0 $:
x = -1 Á
Integrando:
x = 0 Á
  1. De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Área1 = integral-1^0 (1 - (-x)) , dx = integral-1^0 (1 + x) , dx Á
Integrando:
Área1 = [ x + x^22 ]-1^0 = (0 + 0) - (-1 + 12) = 0 - (-12) = 12 Á

Passo 6

Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Área Total = Área1 + Área2 = 12 + 34 = 24 + 34 = 54 ÁÁÁ

Resposta

A área da região delimitada por $ y = x^{3} $, $ y = -x $ e $ y = 1 $ é $ \frac{5}{4} $ unidades de área.

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