Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
(1-x) y^prime prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resumir: queremos achar a relação de recorrência dos coeficientes an para que a série de potências y(x)=sumn=0^inftyann!x^n seja solução da equação (1 - x)y'' + y = 0. Vamos usar derivação termo a termo e comparação de coeficientes.

Passo 2

Primeiro derivamos termo a termo. Temos
y'(x)=sumn=1^inftyan(n-1)!x^n-1=sumn=0^inftyan+1n!x^n
e
y''(x)=sumn=2^inftyan(n-2)!x^n-2=sumn=0^inftyan+2n!x^n

Passo 3

Agora substituímos na equação (1 - x)y'' + y = 0. Escrevendo cada termo em potências de x^n:
  • y'' = sumn=0^inftyan+2n!x^n
  • x,y'' = sumn=0^inftyan+2n!x^n+1=sumn=1^inftyan+1(n-1)!x^n
  • y = sumn=0^inftyann!x^n.

Passo 4

Coletando tudo em potências de x^n e impondo que cada coeficiente seja zero, para n>=0 obtemos
an+2n!-0,&n=0an+1(n-1)!,&n>=1+ann!=0
Multiplicando por n! e lembrando que o segundo termo é n,an+1 para n>=1 (e zero para n=0), chegamos à relação
an+2-n,an+1+an=0

Passo 5

Bastou rearranjar para isolar an+2. A relação de recorrência procurada é:
an+2 = n an+1 - an.

Passo 6

A resposta final não precisa de passo extra.

Resposta

an+2=n,an+1-an

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