Seja
uma série de potências. Determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resumir: queremos achar a relação de recorrência dos coeficientes
para que a série de potências
seja solução da equação
. Vamos usar derivação termo a termo e comparação de coeficientes.
Passo 2
Primeiro derivamos termo a termo. Temos
e
e
Passo 3
Agora substituímos na equação
. Escrevendo cada termo em potências de
:
-
-
-
.
Passo 4
Coletando tudo em potências de
e impondo que cada coeficiente seja zero, para
obtemos
Multiplicando por
e lembrando que o segundo termo é
para
(e zero para
), chegamos à relação
Passo 5
Bastou rearranjar para isolar
. A relação de recorrência procurada é:
.
Passo 6
A resposta final não precisa de passo extra.