Resolva os seguintes itens:
Esboce a região delimitada por
, e
. Encontre a área da região.
Esboce a região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos três equações que delimitam uma região no plano cartesiano:
- $ y = 6 - x^{2} $ — que é uma parábola voltada para baixo.
- $ y = x $ com $ x \leqslant 0 $ — uma reta inclinada para cima no lado esquerdo do eixo y.
- $ y = -x $ com $ x \geqslant 0 $ — uma reta inclinada para baixo no lado direito do eixo y.
A matéria envolvida aqui é Áreas de Regiões Delimitadas por Curvas, e vamos precisar usar um pouco de Cálculo Integral, especificamente a integração para encontrar a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. A parábola $ y = 6 - x^{2} $ tem seu vértice no ponto (0,6) e se abre para baixo. As retas $ y = x $ e $ y = -x $ são simétricas em relação ao eixo y, mas cada uma está definida apenas para um lado: a primeira para $ x \leqslant 0 $ e a segunda para $ x \geqslant 0 $.
Passo 3
Para encontrar a área da região delimitada, precisamos determinar os pontos de interseção entre as curvas. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos resolver as equações duas a duas:
- Interseção entre $ y = 6 - x^{2} $ e $ y = x $ (para $ x \leqslant 0 $):
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá $ x = 2 $ e $ x = -3 $. Como estamos considerando $ x \leqslant 0 $, o ponto de interseção relevante é $ x = -3 $.
- Interseção entre $ y = 6 - x^{2} $ e $ y = -x $ (para $ x \geqslant 0 $):
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá $ x = 3 $ e $ x = -2 $. Como estamos considerando $ x \geqslant 0 $, o ponto de interseção relevante é $ x = 3 $.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos dividir a área em duas partes simétricas: uma para $ x \leqslant 0 $ e outra para $ x \geqslant 0 $.
Para $ x \leqslant 0 $:
A curva superior é $ y = 6 - x^{2} $ e a curva inferior é $ y = x $.
A área $ A_1 $ é dada pela integral da diferença das funções de $ x = -3 $ a $ x = 0 $:
Para $ x \geqslant 0 $:
A curva superior é $ y = 6 - x^{2} $ e a curva inferior é $ y = -x $.
A área $ A_2 $ é dada pela integral da diferença das funções de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
Passo 5
Vamos calcular cada uma das integrais:
Calculando $ A_1 $:
Substituindo os limites:
Calculando $ A_2 $:
Substituindo os limites:
Resposta
Somando as duas áreas:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é 27 unidades de área.