Resolva os seguintes itens:
Esboce a região delimitada por y=6-x^2, y=x(x <= 0), e y=-x(x >= 0). Encontre a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos três equações que delimitam uma região no plano cartesiano:
  1. $ y = 6 - x^{2} $ — que é uma parábola voltada para baixo.
  2. $ y = x $ com $ x \leqslant 0 $ — uma reta inclinada para cima no lado esquerdo do eixo y.
  3. $ y = -x $ com $ x \geqslant 0 $ — uma reta inclinada para baixo no lado direito do eixo y.
A matéria envolvida aqui é Áreas de Regiões Delimitadas por Curvas, e vamos precisar usar um pouco de Cálculo Integral, especificamente a integração para encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. A parábola $ y = 6 - x^{2} $ tem seu vértice no ponto (0,6) e se abre para baixo. As retas $ y = x $ e $ y = -x $ são simétricas em relação ao eixo y, mas cada uma está definida apenas para um lado: a primeira para $ x \leqslant 0 $ e a segunda para $ x \geqslant 0 $.

Passo 3

Para encontrar a área da região delimitada, precisamos determinar os pontos de interseção entre as curvas. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos resolver as equações duas a duas:
  1. Interseção entre $ y = 6 - x^{2} $ e $ y = x $ (para $ x \leqslant 0 $):
y = 6 - x^2
Resolvendo essa equação quadrática:
y = x
Isso nos dá $ x = 2 $ e $ x = -3 $. Como estamos considerando $ x \leqslant 0 $, o ponto de interseção relevante é $ x = -3 $.
  1. Interseção entre $ y = 6 - x^{2} $ e $ y = -x $ (para $ x \geqslant 0 $):
x <= 0
Resolvendo essa equação quadrática:
6 - x^2 = x x^2 + x - 6 = 0
Isso nos dá $ x = 3 $ e $ x = -2 $. Como estamos considerando $ x \geqslant 0 $, o ponto de interseção relevante é $ x = 3 $.

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos dividir a área em duas partes simétricas: uma para $ x \leqslant 0 $ e outra para $ x \geqslant 0 $.
Para $ x \leqslant 0 $:
A curva superior é $ y = 6 - x^{2} $ e a curva inferior é $ y = x $.
A área $ A_1 $ é dada pela integral da diferença das funções de $ x = -3 $ a $ x = 0 $:
x <= 0
Para $ x \geqslant 0 $:
A curva superior é $ y = 6 - x^{2} $ e a curva inferior é $ y = -x $.
A área $ A_2 $ é dada pela integral da diferença das funções de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
x >= 0

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais:
Calculando $ A_1 $:
A1
Substituindo os limites:
A1 = integral-3^0 (6 - x^2 - x) , dx = [6x - x^33 - x^22]-3^0
Calculando $ A_2 $:
A1 = (0 - 0 - 0) - (6(-3) - (-3)^33 - (-3)^22) A1 = 0 - (-18 - (-9) - 92) A1 = 0 - (-18 + 9 - 4.5) A1 = 0 - (-13.5) A1 = 13.5
Substituindo os limites:
A2

Resposta

Somando as duas áreas:
A = A1 + A2 = 13.5 + 13.5 = 27 , unidades de área á
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é 27 unidades de área.

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