Use integração para encontrar a área do trapézio com vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um trapézio que tem como vértices os pontos
,
,
e
. Para isso, vamos usar a integração, que é uma ferramenta matemática da área de Cálculo que nos ajuda a calcular áreas sob curvas ou entre elas. Vamos precisar desenhar o trapézio, identificar as funções que descrevem os lados e então integrar a diferença entre essas funções para achar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a figura. Vamos plotar os pontos no plano cartesiano:
Ao conectar esses pontos, vemos que o trapézio tem duas bases paralelas: a superior de
a
e a inferior de
a
. As laterais são as retas que conectam
a
e
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as equações das retas que formam as laterais do trapézio.
Reta AB:
Passando por
e
.
-
Calculando o coeficiente angular (inclinação):
-
Equação da reta:Substituindo
e o ponto para encontrar : Então, a equação é:
Reta CD:
Passando por
e
.
-
Calculando o coeficiente angular:
-
Equação da reta:Substituindo o ponto
para encontrar : Então, a equação é:
Passo 4
Agora que temos as equações das retas laterais, podemos dividir o trapézio em três partes para facilitar a integração:
- De
a : a função superior é a reta ( ) e a inferior é a base inferior ( ). - De
a : a função superior é a base superior ( ) e a inferior continua sendo . - De
a : a função superior é a reta ( ) e a inferior é .
Passo 5
Vamos calcular a área em cada uma dessas partes usando a integração da diferença entre as funções superior e inferior.
1. De
a
:
Função superior:
Função inferior:
A diferença entre elas é:
Então, a integral fica:
2. De
a
:
Função superior:
Função inferior:
A diferença é:
Então, a integral fica:
3. De
a
:
Função superior:
Função inferior:
A diferença é:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais:
1. Integral de
de
a
:
Calculando de
a
:
2. Integral de
de
a
:
Calculando de
a
:
3. Integral de
de
a
:
Calculando de
a
:
Para
:
Para
:
Diferença:
Passo 7
Agora, somamos as áreas das três partes:
Portanto, a área total do trapézio é 19,5 unidades de área.
Resposta
A área do trapézio é
unidades de área.