Use integração para encontrar a área do trapézio com vértices (-2,-2),(1,1),(5,1),(7,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um trapézio que tem como vértices os pontos (-2,-2), (1,1), (5,1) e (7,-2). Para isso, vamos usar a integração, que é uma ferramenta matemática da área de Cálculo que nos ajuda a calcular áreas sob curvas ou entre elas. Vamos precisar desenhar o trapézio, identificar as funções que descrevem os lados e então integrar a diferença entre essas funções para achar a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a figura. Vamos plotar os pontos no plano cartesiano:
  • A (-2,-2)
  • B (1,1)
  • C (5,1)
  • D (7,-2)
Ao conectar esses pontos, vemos que o trapézio tem duas bases paralelas: a superior de B a C e a inferior de A a D. As laterais são as retas que conectam A a B e C a D.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as equações das retas que formam as laterais do trapézio.
Reta AB:
Passando por A(-2,-2) e B(1,1).
  • Calculando o coeficiente angular (inclinação):
    m = 1 - (-2)1 - (-2) = 33 = 1
  • Equação da reta:
    y = mx + b
    Substituindo m = 1 e o ponto A para encontrar b:
    -2 = 1*(-2) + b Rightarrow b = 0
    Então, a equação é:
    y = x
Reta CD:
Passando por C(5,1) e D(7,-2).
  • Calculando o coeficiente angular:
    m = -2 - 17 - 5 = -32
  • Equação da reta:
    y = -32x + b
    Substituindo o ponto C para encontrar b:
    1 = -32(5) + b Rightarrow 1 = -152 + b Rightarrow b = 172
    Então, a equação é:
    y = -32x + 172

Passo 4

Agora que temos as equações das retas laterais, podemos dividir o trapézio em três partes para facilitar a integração:
  1. De x = -2 a x = 1: a função superior é a reta AB ( y = x) e a inferior é a base inferior ( y = -2).
  2. De x = 1 a x = 5: a função superior é a base superior ( y = 1) e a inferior continua sendo y = -2.
  3. De x = 5 a x = 7: a função superior é a reta CD ( y = -32x + 172) e a inferior é y = -2.

Passo 5

Vamos calcular a área em cada uma dessas partes usando a integração da diferença entre as funções superior e inferior.
1. De x = -2 a x = 1:
Função superior: y = x
Função inferior: y = -2
A diferença entre elas é: x - (-2) = x + 2
Então, a integral fica:
integral-2^1 (x + 2) , dx
2. De x = 1 a x = 5:
Função superior: y = 1
Função inferior: y = -2
A diferença é: 1 - (-2) = 3
Então, a integral fica:
integral1^5 3 , dx
3. De x = 5 a x = 7:
Função superior: y = -32x + 172
Função inferior: y = -2
A diferença é: -32x + 172 - (-2) = -32x + 212
Então, a integral fica:
integral5^7 ( -32x + 212 ) , dx

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
1. Integral de x + 2 de -2 a 1:
integral (x + 2) , dx = 12x^2 + 2x
Calculando de -2 a 1:
[ 12(1)^2 + 2(1) ] - [ 12(-2)^2 + 2(-2) ] = ( 12 + 2 ) - ( 2 - 4 ) = 2.5 - (-2) = 4.5
2. Integral de 3 de 1 a 5:
integral 3 , dx = 3x
Calculando de 1 a 5:
3(5) - 3(1) = 15 - 3 = 12
3. Integral de -32x + 212 de 5 a 7:
integral ( -32x + 212 ) , dx = -34x^2 + 212x
Calculando de 5 a 7:
Para x = 7:
-34(7)^2 + 212(7) = -34(49) + 1472 = -36.75 + 73.5 = 36.75
Para x = 5:
-34(5)^2 + 212(5) = -34(25) + 1052 = -18.75 + 52.5 = 33.75
Diferença:
36.75 - 33.75 = 3

Passo 7

Agora, somamos as áreas das três partes:
4.5 + 12 + 3 = 19.5
Portanto, a área total do trapézio é 19,5 unidades de área.

Resposta

A área do trapézio é 19,5 unidades de área.

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