Seja
uma série de potências. Determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação:
Passo 1
Neste exercício vamos determinar a relação de recorrência dos coeficientes
para que a série de potências
satisfaça
. Vamos usar o método de séries de potências: calcular
e
, substituir na equação diferencial, agrupar termos de mesma potência de
e igualar coeficientes a zero.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas de
:
Temos
Temos
Derivando uma vez e renumerando com
:
Derivando de novo:
Passo 3
Substituímos na equação
e escrevemos cada termo como série:
Passo 4
Renumeramos todas as somas para ter potências
e somamos os coeficientes de
:
Para temos
Para
Multiplicando por
e usando
e
, obtemos
ou seja
Passo 5
Da equação acima chega-se à relação de recorrência geral para
: