Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
(2+x^2) y^prime prime-x y^prime+4 y=0

Passo 1

Neste exercício vamos determinar a relação de recorrência dos coeficientes an para que a série de potências y(x)=sumn=0^inftyann!x^n satisfaça (2+x^2)y''-xy'+4y=0. Vamos usar o método de séries de potências: calcular y' e y'', substituir na equação diferencial, agrupar termos de mesma potência de x e igualar coeficientes a zero.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas de y(x):
Temos
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n
Derivando uma vez e renumerando com k=n-1:
y'(x)=sumn=1^inftyan(n-1)!x^n-1= sumk=0^inftyak+1k!x^k
Derivando de novo:
y''(x)=sumn=2^inftyan(n-2)!x^n-2= sumk=0^inftyak+2k!x^k

Passo 3

Substituímos na equação (2+x^2)y''-xy'+4y=0 e escrevemos cada termo como série:
2y''=2sumk=0^inftyak+2k!x^k, x^2y''=sumk=0^inftyak+2k!x^k+2,
-xy'=-sumk=0^inftyak+1k!x^k+1, 4y=4sumk=0^inftyakk!x^k

Passo 4

Renumeramos todas as somas para ter potências x^m e somamos os coeficientes de x^m:
Para m>=2 temos
2am+2m!+am(m-2)!-am(m-1)!+4amm!=0
Multiplicando por m! e usando m!/(m-2)!=m(m-1) e m!/(m-1)!=m, obtemos
2am+2+l[m(m-1)-m+4r]am=0
ou seja
2am+2+(m^2-2m+4)am=0

Passo 5

Da equação acima chega-se à relação de recorrência geral para n>=0:
an+2=-n^2-2n+42,an

Resposta

an+2=-tfracn^2-2n+42,an, n>=0

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