Seja
uma série de potências. Determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e pede que ela satisfaça a EDO
. O conteúdo aqui é séries de potências em EDOs e vamos precisar expressar as derivadas termo a termo e depois igualar coeficientes.
Passo 2
Como a série converge num raio adequado, podemos derivar termo a termo. A primeira derivada é
e a segunda derivada fica
Passo 3
Substituindo em
, temos três séries:
Passo 4
Agora somamos tudo numa única série
e exigimos
para todo
. Igualando coeficientes de
para
obtemos
Resposta
Para todo n\ge0 vale
.