Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
(4-x^2) y^prime prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências y(x)=sumn=0^inftyann!x^n e pede que ela satisfaça a EDO (4-x^2)y''+2y=0. O conteúdo aqui é séries de potências em EDOs e vamos precisar expressar as derivadas termo a termo e depois igualar coeficientes.

Passo 2

Como a série converge num raio adequado, podemos derivar termo a termo. A primeira derivada é
y'(x)=sumn=1^inftyan(n-1)!x^n-1,
e a segunda derivada fica
y''(x)=sumn=0^inftyan+2n!x^n

Passo 3

Substituindo em (4-x^2)y''+2y=0, temos três séries:
4y''=4sumn=0^inftyan+2n!x^n,
-x^2y''=-sumn=2^inftyan(n-2)!x^n=-sumn=2^inftyan,n(n-1)n!x^n,
2y=2sumn=0^inftyann!x^n

Passo 4

Agora somamos tudo numa única série sum Cnx^n=0 e exigimos Cn=0 para todo n. Igualando coeficientes de x^n para n>=0 obtemos
4,an+2 +l(2 - n(n-1)r)an=0, que leva à relação de recorrência desejada.

Resposta

Para todo n\ge0 vale an+2=dfracn(n-1)-24,an=dfrac(n+1)(n-2)4,an.

Exercícios relacionados