Resolva os seguintes itens.
integral x^2 cosh 2 x d x.

Passo 1

O problema é calcular a integral
integral x^2 cosh(2x),dx. Esse tipo de integral, onde um polinômio multiplica uma função hiperbólica, costuma ser resolvido por integração por partes. Vamos usar que a derivada de sinh(x) é cosh(x) e vice-versa.

Passo 2

Aplicando integração por partes: seja u = x^2 e dv = cosh(2x),dx. Então du = 2x,dx e
v = integral cosh(2x),dx = 12sinh(2x)
Logo:
integral x^2 cosh(2x),dx = x^22sinh(2x) - integral x sinh(2x),dx

Passo 3

Para resolver integral x sinh(2x),dx, aplicamos integração por partes de novo: escolha u = x e dv = sinh(2x),dx. Assim du = dx e
v = integral sinh(2x),dx = 12cosh(2x)
Então:
integral x sinh(2x),dx = x2cosh(2x) - integral 12cosh(2x),dx = x2cosh(2x) - 14sinh(2x)

Passo 4

Voltando à integral original, substituímos o resultado da segunda parte:
integral x^2 cosh(2x),dx = x^22sinh(2x) - l(x2cosh(2x) - 14sinh(2x)r) + C
Agora, organizando os termos semelhantes em sinh(2x):
= l(x^22 + 14r)sinh(2x) - x2cosh(2x) + C

Resposta

l(tfracx^22 + tfrac14r)sinh(2x) - tfracx2cosh(2x) + C

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