Resolva os seguintes itens.
.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: Precisamos calcular a integral
. O assunto envolve mudança de variável (substituição) e depois integração de
, que usa integração por partes.
Passo 2
Aplicação da substituição: Faça
, então
, ou seja
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira
[\n\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\arctan(t),dt\n]
[\n\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\arctan(t),dt\n]
Passo 3
Cálculo de
por partes: escolha
e
. Então
e
. Logo
[\n\int\arctan(t),dt = t\arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^{2}},dt = t\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) + C\n]
[\n\int\arctan(t),dt = t\arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^{2}},dt = t\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) + C\n]
Passo 4
Avaliação da integral definida:
[\n\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\arctan(t),dt = \frac{1}{2}\Bigl[ t\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) \Bigr]_{0}^{1}\n]
[\n\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\arctan(t),dt = \frac{1}{2}\Bigl[ t\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) \Bigr]_{0}^{1}\n]
Passo 5
Substituindo limites: em
obtemos
; em
dá zero menos
. Então
[\n\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}\ln2\Bigr) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\ln2\n]
[\n\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}\ln2\Bigr) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\ln2\n]
Resposta
\displaystyle \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\ln2