Resolva os seguintes itens.
integral0^1 x arctan x^2 d x.

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: Precisamos calcular a integral integral0^1 x,arctan(x^2),dx. O assunto envolve mudança de variável (substituição) e depois integração de arctan t, que usa integração por partes.

Passo 2

Aplicação da substituição: Faça t = x^2, então dt = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12,dt. Quando x=0, t=0; quando x=1, t=1. A integral vira
[\n\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\arctan(t),dt\n]

Passo 3

Cálculo de integralarctan(t),dt por partes: escolha u=arctan(t) e dv=dt. Então du=11+t^2,dt e v=t. Logo
[\n\int\arctan(t),dt = t\arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^{2}},dt = t\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) + C\n]

Passo 4

Avaliação da integral definida:
[\n\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\arctan(t),dt = \frac{1}{2}\Bigl[ t\arctan(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^{2}) \Bigr]_{0}^{1}\n]

Passo 5

Substituindo limites: em t=1 obtemos 1cdottfracpi4 - tfrac12ln(2); em t=0 dá zero menos tfrac12ln(1)=0. Então
[\n\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}\ln2\Bigr) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\ln2\n]

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\ln2

Exercícios relacionados