Resolva os seguintes itens.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida . O conteúdo principal é integração definida usando a técnica de integração por partes.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de integração por partes
, escolhemos:
Então precisamos de
Passo 3
Derivando
e integrando
:
Passo 4
Aplicando integração por partes:
$$\int_{0}^{1/4}\arcsen(2x),dx = \bigl[x,\arcsen(2x)\bigr]_{0}^{1/4}
- \int_{0}^{1/4} x \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}},dx.$$
Passo 5
Chamemos de
a integral restante:
Fazemos a substituição
Os limites quando
Assim:
Passo 6
Voltando à integral original:
$$\int_{0}^{1/4}\arcsen(2x),dx = \Bigl(\tfrac{1}{4}\arcsen(2\cdot\tfrac{1}{4}) - 0\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{4}\Bigr).
$$
Como , temos .
Como , temos
Passo 7
Substituindo e simplificando, a resposta final fica: