Resolva os seguintes itens.
integral0^1 / 4 arcsen 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida . O conteúdo principal é integração definida usando a técnica de integração por partes.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du, escolhemos:

Então precisamos de u = arcsen(2x), dv = dx e de du.

Passo 3

Derivando u e integrando dv:
du = ddxl(arcsen(2x)r),dx = 2raiz1-(2x)^2,dx = 2raiz1-4x^2,dx,

Passo 4

Aplicando integração por partes:
$$\int_{0}^{1/4}\arcsen(2x),dx = \bigl[x,\arcsen(2x)\bigr]_{0}^{1/4}
  • \int_{0}^{1/4} x \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}},dx.$$

Passo 5

Chamemos de I2 a integral restante:
I2 = integral0^1/4 2xraiz1-4x^2,dx
Fazemos a substituição t = 1 - 4x^2, então dt = -8x,dx e 2x,dx = -tfracdt4.
Os limites quando x=0 dão t=1, e quando x=1/4 dão t=1-4(1/4)^2=3/4.
Assim:
I2 = integralt=1^3/4 -dt/4raizt = 14integral3/4^1 t^-1/2,dt = 14l[2raiztr]3/4^1 = 12l(1 - raiz32r) = 12 - raiz34

Passo 6

Voltando à integral original:
$$\int_{0}^{1/4}\arcsen(2x),dx = \Bigl(\tfrac{1}{4}\arcsen(2\cdot\tfrac{1}{4}) - 0\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{4}\Bigr).
$$
Como , temos integral0^1/4arcsen(2x),dx = l(tfrac14arcsen(2cdottfrac14) - 0r) - l(tfrac12 - tfracraiz34r) .

Passo 7

Substituindo e simplificando, a resposta final fica:
pi24 - 12 + raiz34

Resposta

pi24 + raiz34 - 12

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