Resolva os seguintes itens.
integral1^2 e x^2(ln x)^2 d x.

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida
integral1^2e x^2(ln x)^2,dx
Este é um exercício de integrais que envolve função logarítmica e potência de x, e vamos usar duas ideias principais: a substituição x=e^t (para simplificar o ln x) e depois integração por partes para tratar o termo em t^2e^3t.

Passo 2

Fazendo a substituição t=ln x, temos x=e^t, então
dx=e^tdt,
e
x^2(ln x)^2dx = e^2tcdot t^2cdot e^tdt = t^2e^3tdt
Os limites também mudam: quando x=1, t=0, e quando x=2e, t=1+ln 2. Assim
integral1^2e x^2(ln x)^2dx = integral0^1+ln 2 t^2e^3tdt

Passo 3

Agora vamos calcular a integral indefinida
integral t^2e^3tdt
por partes. Seja u=t^2 e dv=e^3tdt. Então du=2t,dt e v=tfrac13e^3t. Isso dá
integral t^2e^3tdt = 13t^2e^3t - 23integral t e^3tdt
A integral integral t e^3tdt faz-se outra vez por partes (com u=t, dv=e^3tdt) e resulta em
integral t e^3tdt = 13t e^3t - 19e^3t
Substituindo de volta, obtemos
integral t^2e^3tdt = 13t^2e^3t - 29t e^3t + 227e^3t + C

Passo 4

Agora é só avaliar de t=0 até t=1+ln 2. Chamando
A=1+ln 2 e lembrando que e^3A=8e^3, temos
l[tfrac13t^2e^3t - tfrac29t e^3t + tfrac227e^3tr]0^A = 8e^327l(9A^2-6A+2r) - 227

Passo 5

Bastou expandir 9A^2-6A+2 com A=1+ln 2, que fica
9(ln 2)^2+12ln 2+5. Logo a integral vale
8e^3l(9(ln 2)^2+12ln 2+5r)-227

Resposta

integral1^2e x^2(ln x)^2dx = 8e^3l(9(ln 2)^2+12ln 2+5r)-227

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