Resolva os seguintes itens.
.
Passo 1
A gente precisa calcular a integral definida
Este é um exercício de integrais que envolve função logarítmica e potência de x, e vamos usar duas ideias principais: a substituição
(para simplificar o
) e depois integração por partes para tratar o termo em
.
Passo 2
Fazendo a substituição
, temos
, então
e
Os limites também mudam: quando
,
, e quando
,
. Assim
Passo 3
Agora vamos calcular a integral indefinida
por partes. Seja
e
. Então
e
. Isso dá
A integral
faz-se outra vez por partes (com
,
) e resulta em
Substituindo de volta, obtemos
Passo 4
Agora é só avaliar de
até
. Chamando
e lembrando que
, temos
Passo 5
Bastou expandir
com
, que fica
. Logo a integral vale