Verifique se a série sumk=1^infty(32^k-23^k) converge e, em caso afirmativo, determine sua soma.

Passo 1

O exercício pede pra verificar se a série sumk=1^inftyl(tfrac32^k - tfrac23^kr) converge e, se sim, achar sua soma. O assunto aqui é soma de séries geométricas, então vamos usar a fórmula que dá a soma de sumk=1^infty r^k quando |r|<1.

Passo 2

Note que podemos separar a soma em duas séries independentes:
$$\sum_{k=1}{\infty}\frac{3}{2k} ;-
\sum_{k=1}{\infty}\frac{2}{3k}.$$
Cada uma delas é uma série geométrica do tipo sumk=1^infty32^k ;- sumk=1^infty23^k.

Passo 3

Lembrando que
sumk=1^inftyr^k = r1-r,para |r|<1,
vamos usar isso em cada parte:
sumk=1^infty32^k = 3sumk=1^inftyl(tfrac12r)^k = 3cdot1/21 - 1/2 = 3,
sumk=1^infty23^k = 2sumk=1^inftyl(tfrac13r)^k = 2cdot1/31 - 1/3 = 1

Passo 4

Como ambas as razões 1/2 e 1/3 têm valor absoluto menor que 1, cada série convergente implica que a combinação também converge. Subtraindo os resultados, a soma total é
3 - 1 = 2

Resposta

A série converge e sua soma é 2.

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