Verifique se a série
converge e, em caso afirmativo, determine sua soma.
Passo 1
O exercício pede pra verificar se a série
converge e, se sim, achar sua soma. O assunto aqui é soma de séries geométricas, então vamos usar a fórmula que dá a soma de
quando
.
Passo 2
Note que podemos separar a soma em duas séries independentes:
$$\sum_{k=1}{\infty}\frac{3}{2k} ;-
\sum_{k=1}{\infty}\frac{2}{3k}.$$
Cada uma delas é uma série geométrica do tipo .
Cada uma delas é uma série geométrica do tipo
Passo 3
Lembrando que
vamos usar isso em cada parte:
Passo 4
Como ambas as razões
e
têm valor absoluto menor que 1, cada série convergente implica que a combinação também converge. Subtraindo os resultados, a soma total é
Resposta
A série converge e sua soma é 2.