Resolva os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{1 / 2 x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\tfrac{1}{2x}}.
O conteúdo envolvido é limite de sequência/exponencial do tipo (1+u)^{1/u}\to \mathrm e ou, alternativamente, podemos usar logaritmo e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to 0}(1+3x)^{\tfrac{1}{2x}}
e tomamos logaritmo natural para transformar potência em produto:
\ln L = \lim_{x\to 0} \ln\bigl((1+3x)^{\tfrac{1}{2x}}\bigr) = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+3x)}{2x}.

Passo 3

O limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{2x} é uma forma 0/0, então aplicamos L’Hôpital:
derivada do numerador: \frac{d}{dx}\ln(1+3x)=\frac{3}{1+3x},
derivada do denominador: \frac{d}{dx}(2x)=2.
Logo
\ln L = \lim_{x\to0}\frac{\frac{3}{1+3x}}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Voltando de \ln L para L, temos
\ln L = \tfrac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad L = \mathrm e^{\tfrac{3}{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathrm e^{\tfrac{3}{2}}

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