Resolva os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{1 / 2 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to 0}(1+3x)^{1/(2x)}.
O conteúdo aqui é o cálculo de limite na forma indeterminada 1^\infty. Para resolver, vamos usar o logaritmo natural para transformar em uma indeterminação do tipo 0/0 e em seguida aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Denotamos
L = \lim_{x \to 0}(1+3x)^{1/(2x)}.
Tomando logaritmo natural de ambos os lados, obtemos
\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x)}{2x}.

Passo 3

Ao substituir x=0 em \frac{\ln(1+3x)}{2x} temos a forma \tfrac{0}{0}, pois \ln(1+0)=0 e 2\cdot0=0. Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1+3x)\bigr] = \frac{3}{1+3x}, \qquad \frac{d}{dx}[2x]=2.
Logo
\ln L = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{3}{1+3x}}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Como \ln L = \tfrac{3}{2}, temos
L = e^{\ln L} = e^{3/2}.

Resposta

e^{3/2}

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