Resolva os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{7}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{7}{x}\bigr)^x.
Esse tipo de limite envolve a função exponencial e a definição do número e. Vamos usar a técnica de reescrever essa potência como uma exponencial de um logaritmo, depois aplicar limites no expoente.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a identidade \exp(\ln y)=y. Assim,
\bigl(1+\tfrac{7}{x}\bigr)^x =\exp\!\Bigl(x\ln\bigl(1+\tfrac{7}{x}\bigr)\Bigr).
Dessa forma, basta encontrar o limite do expoente x\ln\!\bigl(1+7/x\bigr).

Passo 3

Analisamos o expoente
x\ln\bigl(1+\tfrac{7}{x}\bigr).
Como x\to+\infty, temos 7/x\to0. Usamos o limite fundamental \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Seja u=\tfrac{7}{x}. Então
x\ln\bigl(1+\tfrac{7}{x}\bigr) =7\;\frac{\ln(1+u)}{u} \;\longrightarrow\;7\cdot1 =7.

Passo 4

Voltando à forma exponencial, concluímos que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{7}{x}\bigr)^x =\exp\bigl(\lim_{x\to+\infty}x\ln(1+7/x)\bigr) =\exp(7).

Resposta

e^7

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