Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes. \int_{0}^{2} x^{2} \ln (x) d x
Passo 1
O enunciado pede para classificar
\int_{0}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx
como convergente ou divergente. Trata-se de uma integral imprópria porque em x=0 o termo \ln(x) diverge. Vamos verificar se essa “singularidade” é suficientemente fraca para que a integral seja finita.
Passo 2
Estudamos o comportamento de x^{2}\ln(x) quando x\to0^+. Como x^2\to0 e \ln(x)\to -\infty, examinamos
x^2\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-2}}.
Aplicando a regra de l’Hôpital ao quociente \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^{-2}}, temos