Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{2} x^{2} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar
\int_{0}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx
como convergente ou divergente. Trata-se de uma integral imprópria porque em x=0 o termo \ln(x) diverge. Vamos verificar se essa “singularidade” é suficientemente fraca para que a integral seja finita.

Passo 2

Estudamos o comportamento de x^{2}\ln(x) quando x\to0^+. Como x^2\to0 e \ln(x)\to -\infty, examinamos
x^2\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-2}}.
Aplicando a regra de l’Hôpital ao quociente \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^{-2}}, temos
\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x) =\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x)}{x^{-2}} =\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}x^{-2}} =\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-2x^{-3}} =\lim_{x\to0^+}-\tfrac12x^2 =0.
Isso mostra que a possível divergência na fronteira x=0 não é forte o bastante para tornar a área infinita.

Passo 3

Para confirmar que a integral é finita, calculamos
\int x^{2}\ln(x)\,dx
por integração por partes. Tomemos
u=\ln(x),\quad dv=x^2\,dx,
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du=\frac{dx}{x},\quad v=\frac{x^3}{3}.
Então
\int x^{2}\ln(x)\,dx =\frac{x^3}{3}\ln(x) -\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{dx}{x} =\frac{x^3}{3}\ln(x) -\frac{1}{3}\int x^2\,dx =\frac{x^3}{3}\ln(x) -\frac{x^3}{9} +C.
Ao avaliar de 0 a 2, o termo \bigl(x^3\ln(x)\bigr)\big|_{0} é nulo conforme vimos no passo anterior, e o restante gera um valor finito.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx é convergente.

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