Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{0} x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} x e^{x}\,dx
quanto à convergência. O conteúdo aqui é análise de integrais com limite infinito, usando a definição de integral imprópria e antiderivadas.

Passo 2

Escrevemos a integral como um limite de integrais em intervalo finito:
\int_{-\infty}^{0} x e^{x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x e^{x}\,dx.

Passo 3

Para encontrar a antiderivada de x e^{x} usamos integração por partes. Seja
u = x,\quad dv = e^{x}dx
logo
du=dx,\quad v=e^{x}.
Assim,
\int x e^{x}dx = x e^{x} - \int e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x - 1) + C.

Passo 4

Avaliamos a integral de a até 0:
\int_{a}^{0} x e^{x}dx = \bigl[e^{x}(x - 1)\bigr]_{x=a}^{x=0} = e^{0}(0-1) \;-\; e^{a}(a-1) = -1 \;-\; e^{a}(a-1).
Quando a\to -\infty, temos e^{a}(a-1)\to 0 (pois e^{a} decai muito mais rápido que a cresce em módulo). Logo
\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x e^{x}dx = -1,
que é finito.

Passo 5

Como o limite existe e é finito, a integral é convergente.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x e^{x}\,dx é convergente (valor igual a -1).

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