Relacione as colunas de acordo com o valor dos limites. Apresente os cálculos.
(A) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+3 x-4}{x-1}
(B) \lim _{x \rightarrow 500} \log 2 x
(C) \lim _{x \rightarrow \pi} \cos \frac{x}{2}
(D) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-25}{10 x-50}
(E) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{18+6 x^{2}}{3 x^{2}-x+4}
(F) \lim _{x \rightarrow 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}
(G) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{12 x}{\operatorname{sen}(2 x)}

Passo 1

Temos sete limites que devemos calcular e, em seguida, relacionar cada letra ao seu valor. O conteúdo aqui envolve técnicas de limites: fatoração, continuidade de funções elementares, comparação de graus de polinômios, racionalização e comportamento oscilatório.

Passo 2

Calcular A=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+3x-4}{x-1}. Fatoramos o numerador:
x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4).
Logo,
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+3x-4}{x-1} =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+4)}{x-1} =\lim_{x\rightarrow 1}(x+4) =5.

Passo 3

Calcular B=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 500}\log(2x). A função \log é contínua onde está definida, então basta substituir:
\lim_{x\rightarrow 500}\log(2x) =\log\bigl(2\cdot 500\bigr) =\log(1000).

Passo 4

Calcular C=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). A função \cos é contínua, logo:
\lim_{x\rightarrow \pi}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =0.

Passo 5

Calcular D=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-25}{10x-50}. Substituindo diretamente:
x^{2}-25=9-25=-16, \quad 10x-50=30-50=-20,
então
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-25}{10x-50} =\frac{-16}{-20} =\frac{4}{5}.

Passo 6

Calcular E=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{18+6x^{2}}{3x^{2}-x+4}. Dividimos numerador e denominador por x^{2}:
\frac{18+6x^{2}}{3x^{2}-x+4} =\frac{\tfrac{18}{x^{2}}+6}{3-\tfrac{1}{x}+\tfrac{4}{x^{2}}},
e, ao deixar x\to+\infty, os termos com 1/x e 1/x^{2} vão a zero, restando
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{18+6x^{2}}{3x^{2}-x+4} =\frac{6}{3} =2.

Passo 7

Calcular F=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}. Racionalizamos o denominador multiplicando por \tfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}:
\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} =\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} =\sqrt{x}+2.
Logo,
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} =\sqrt{4}+2 =4.

Passo 8

Calcular G=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{12x}{\operatorname{sen}(2x)}. Como \operatorname{sen}(2x) oscila entre -1 e 1, o quociente 12x/\operatorname{sen}(2x) fica com módulo crescendo sem limite e alternando de sinal. Portanto, esse limite não existe (ou diverge).

Resposta

(A) 5
(B) \log(1000)
(C) 0
(D) \tfrac{4}{5}
(E) 2
(F) 4
(G) não existe

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