Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital):
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto3 l(tfrac1+x4r)^1/(x-3) sem usar a regra de L’Hôpital. O conteúdo envolve indeterminação da forma 1^infty, então vamos usar a definição expl(lim ln(cdot)r).

Passo 2

Chamamos a expressão de y:
y = l(tfrac1+x4r)^tfrac1x-3
Para facilitar, tomamos o logaritmo natural:
ln y = 1x-3,lnl(tfrac1+x4r)

Passo 3

Para explorar a forma 1^infty, fazemos a mudança t = x - 3 de modo que x = 3 + t e tto0. Então:
lnl(tfrac1+x4r) = lnl(1 + tfract4r)
Usando a expansão de Taylor em torno de t=0:
lnl(1 + tfract4r) = tfract4 - tfract^232 + o(t^2)
Logo:
ln y = 1t l(tfract4 - tfract^232 + o(t^2)r) = tfrac14 - tfract32 + o(t)
À medida que tto0, temos ln y to 1/4.

Passo 4

Voltando à função original, obtemos
limxto3 y = limtto0 y = expl(limtto0 ln yr) = expl(tfrac14r)

Resposta

e^1/4

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