Use integral dupla para calcular o volume do sólido W no primeiro octante, compreendido pelas superfícies y^2=x, z=0 e x+z=1.

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume do sólido W no primeiro octante limitado pelas superfícies y^2 = x, z = 0 e x + z = 1. O conteúdo é inte­grais triplas (ou du­plas iteradas, integrando primeiro em z para obtermos o volume). Vamos precisar projetar W no plano xy e montar a integral iterada.

Passo 2

Primeiro projetamos W no plano xy. Como no primeiro octante x,y,z>= 0 e z = 1 - x implica x<= 1. Além disso y^2 = x x>= y^2 e y>=0. Logo a região em (x,y) é
D = (x,y): 0<= y<= 1,; y^2 <= x <= 1
Assim o volume é
V = integraly=0^1 integralx=y^2^1 integralz=0^1-x dz,dx,dy

Passo 3

Agora integramos primeiro em z. Temos
integralz=0^1-x dz = 1 - x
Portanto
V = integraly=0^1 integralx=y^2^1 (1 - x),dx,dy

Passo 4

Em seguida, integramos em x:
integralx=y^2^1 (1 - x),dx = l[x - tfracx^22r]y^2^1 = l(1 - tfrac12r) - l(y^2 - tfracy^42r) = tfrac12 - y^2 + tfracy^42
Logo
V = integraly=0^1 l(tfrac12 - y^2 + tfracy^42r) dy

Passo 5

Por fim, integramos em y:
V = integral0^1 l(tfrac12 - y^2 + tfracy^42r) dy = l[tfracy2 - tfracy^33 + tfracy^510r]0^1 = tfrac12 - tfrac13 + tfrac110 = tfrac415

Resposta

tfrac415

Exercícios relacionados